qxdydz
qx
qx x
dxdydz
qx dxdydz
同理在y,z方向热量差
x y
ydy
qy y
dxdydz
z
zdz
qz z
dxdydz
如单位体积内热源生成的热量为 Φ ，则微元体内产生的
热量：
Φ dxdydz
微元体内热量的增加（内能的增加）为：
c t dxdydz
代入能量平衡方程：
c t [( t )] [( t )] [( t )] Φ x x y y z z
▪ 4、定解条件的数学表达
初始条件（initial condition）--初始时刻的状态表
示为： t =0 =f (x,y,z)
边界条件（boundary condition）--边界上的温度分 布或换热条件，分为三类： 第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
温度分布 t = 0 =f (x,y,z) 〈2〉 边界条件（boundary condition）：边界上的温
度分布或换热条件。
边界条件的分类：
第一类边界条件：规定了边界上的温度值（变量值）
0 tw f ( )
第二类边界条件： 规定了边界上的热流密度（变 量梯度）
0
(
t n
)
w
f
( )
q y dy
qy dx qz
dz qxdx
dy
微元体热平衡
导入微元体的总热量-导出微元体的总热量 + 微元微元体内产生的热量 = 体内的热量增加
X方向导入热量
x qxdydz
导出热量
xdx qxdxdydz
qxdx 用Taylor级数展开
X方向导入导出热量之差
qxdx
qx
qx x
dx
x
xdx
第二章 导热基本定律 及稳态导热
Basic Law and Steady State Conduction
§2-1 导热基本定律
1. 温度场 temperature field
定义
系统中某一时刻的温度分布
按时间 分 类
按空间
稳态温度场 Steady Temperature Field 非稳态温度场 Transient Temperature Field
第三类边界条件： 规定了温度与温度梯度在边界
任一物体，由于某种原因使温度场分布不均匀， 则就有导热发生。
二、问题的数学描述 1、导热微分方程
c t
2t x2
2t y 2
2t z 2
Φ
其中:
ρ—密度， c—比热， λ--导热系数
Φ --单位体积内热源生热，w/m3
2、定解条件
初始条件，边界条件
3、导热微分方程的推导
qx
zy
x
q z dz
3.导热系数
Thermal Conduc位负温度 梯度下的导热量。（或在单位温度梯度作 用下通过物体的热流密度。）
导热机理
•气体：分子热运动 t
•固体：自由电子和晶格振动
t 晶格振动 阻碍自由电子运动 金属 非金属
•液体机理不清
固体> 液体 > 气体 取决于物质的种类和温度
tw= f[W(x,y,z), τ]
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度 第三类边界条件：规定了与边界换热的环境条件
三、导热微分方程的简化
1. 如 =constant 则
c t
2t x2
2t y 2
2t z 2
Φ
c t 2t Φ
令 a c
t a2t Φ
c
(称为热扩散率,导温系数 thermal diffusivity)
热绝缘（保温）材料 insulation material：
<0.2W/(mK)(50年代）
<0.14W/(mK)（GB84） <0.12W/(mK)
（GB84）
是随温度变化的
物性 工程处理： 〈1〉取平均 值 〈2〉采用线性关 系近似
0 (1 bt)
§ 2-2 导热微分方程式及定解条件
一、物理（模型）问题
2. Φ 0 , 则 t a2t
3. 稳态: a2t Φ 0
c
4.稳态且 Φ 0 , 则 2t 0
四、其它正交坐标
柱坐标: (cylinder coordinate)
x r cos y r sin z z
t
a
2 r
t
2
1 r
t r
1 r2
2t
2
2t z2
c
球坐标: (sphere coordinate)
x r sin cos y r sin sin z r cos
t
a1r
2 (rt r2
)
1
r 2 sin
s in
t
1
r 2 sin 2
2t
2
c
五、导热问题的完整数学描述
无内热源、常物性、稳态一维问题的导热微分方程：
d 2t dx2
0
dt dx c1
t c1x c2
问题不能确定，需有定解条件： 〈1〉 初始条件（ initial condition）： = 0 时的
▪ 等温面—在同一时刻，同温度各点连成 的面
▪ 二维时则成为等温线
▪ 问题—球坐标 t=f (r,)=const.
2. Fourier’s law
Φ qA A t
x
热力学第二定 律体现
q
t
n
n
gradt
t
n
t
i
t
j
t
k
n x y z
i
j
k
x y z
q gradt t
一维温度场 One Dimensional Temperature Field 二维温度场 Two Dimensional Temperature Field
三维温度场 Three Dimensional Temperature Field
等温面（isothermal surface)，等温线 (isotherm)
人头部温度示意，如 何通过理论分析得到？ （蓝、绿、红表示温度
由低到高）
电影泰坦尼克号中Jack冻 死了，为什么Rose却没死？ 用数学模型如何反映他们 传热条件的不同？
对于简单问题可以直接应用 Fourier’s law, 而 对于复杂一些的问题就需要更一般的方法, 而这一 方法的基础就是导热微分方程 (Conduction differential equation) 。
[qx dxdydz qy dxdydz qz dxdydz]
x
y
z
dxdydz c t dxdydz
以热流密度表示的导热微分方程在推 导过程中没有做任何假设，它是通用的， 即可以认为：
(x, y, z, ) c c(x, y, z, ) (x, y, z, )
q dt
dx