如果X1, X 2互相独立 则有: f X ( x1, x2 ) f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) ,
fY ( y) f X1 ( y1 ) f X 2 ( y y1 )dy1 f X1 ( y) f X 2 ( y)

两个互相独立随机变量之和的概率密度等 于两个随机变量各自概率密度的卷积。
X ( ) f ( x)e jx dx

X () F ()
FT[ f ( x)] F ( ) f ( x)e jx dx


u
1 f ( x) 2



F ( )e
jx
1 d 2



F (u )e jux du X ( )e jx d
10
例1.1.8 任选两个标有阻值 K的电阻R1和R2串联, 两个 20 电阻的误差都在 5%之内, 并且在误差之内它们是 均匀分 布的.求R1和R2串联后误差不超过 2.5%的概率有多大?
(1) R1和R2 应在19 ~ 21K内均匀分布 (2) R1和R2 互相独立, 串联后的R R1 R2 (3) R应在38 42K之间, 求R取39 ~ 41K的概率
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量数学期望 , 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度 .
1 f X ( x) e 2 ( xm)2 2 2
1 f X ( x) e 2
x2 2
fY ( y) f X1 ( y) f X 2 ( y)
' fY ( y ) f X (h1 ( y )) h1' ( y ) f X (h2 ( y )) h2 ( y )
2
例1.1.5 随 机 变 量 和Y满 足 线 性 关 系 aX b, X Y X为 高 斯 变 量a, b为 常 数 求Y的 概 率 密 度 , , .
f X ( x)
mY amX b
2 2 Y a 2 X
3
2、二维变换
已知二维随机变量 X 1 , X 2 )的联合概率密度 X ( x1 , x2 ),以及 ( f 二维随机变量 Y1 , Y2 )与( X 1 , X 2 )之间的函数关系为 ( : Y1 1 ( X 1 , X 2 ) X 1 h1 (Y1 , Y2 ) 它们的反函数为: Y2 2 ( X 1 , X 2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 ) 那么随机变量 Y1 , Y2 )的联合概率密度 Y ( y1 , y2 )由下式给出: ( f
1.1.3 随机变量的函数变换
1、一维变换
设随机变量X和Y满足 Y ( X ) ，如果X、Y之间的 关系是单调的，并且存在反函数 X 1 (Y ) h(Y )
f Y ( y)dy
P( x X x dx) P( y Y y dy)
f X ( x)dx fY ( y)dy
Y () X1 () X 2 () ()
2 X
X () e
t2 2 2

2
2
X () FT[ f X ( x)]
FT[e
] 2 e

2 2
2
18
例1.2.1 随机变量X 1 , X 2为互相独立的高斯变量数学期望 , 为零, 方差为1. 求Y X 1 X 2的概率密度 .
1 2 X

( xmX )2
2 2 X
e
Y b X h(Y ) a
fY ( y ) f X (h( y )) h( y )
1 e 2 a X
1 2 X
e
y b mX )2 a 2 2 X (
1 a
( y am X b ) 2
2 2 a 2 X
可用卷积的 图解法来求
11
例1.1.8 任选两个标有阻值 K的电阻R1和R2串联, 两个 20 电阻的误差都在 5%之内, 并且在误差之内它们是 均匀分 布的.求R1和R2串联后误差不超过 2.5%的概率有多大?
0.25(r 38) 38 r 40 f R (r ) 0.25(42 r ) 40 r 42 0 r为其它值
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
4
Y1 1 ( X 1 , X 2 ) X 1 h1 (Y1 , Y2 ) 它们的反函数为 : Y2 2 ( X 1 , X 2 ) X 2 h2 (Y1 , Y2 )
1 2
2

x2 y 2 2 2
e
e
f A (a, )
a 2
2

a2 2 2
6
例1.1.6 设X , Y是相互独立的高斯变量 , 数学期望为零 ,
2 2 X Y 2 , A 0, 0 2 . 求f A (a )和f ( ).
f A (a, )
Y ( ) ()
2 X
16
1 2



X (u )e
jux
1 du 2Байду номын сангаас



X ( ) f ( x)e jx dx


1 f ( x) 2



X ( )e jx d
X () F ()
X () F ()
特征函数与概率密度之间的关系与 傅里叶变换略有不同，指数项差一 负号。
2 X 2 Y 2
A 0, 0 2 . 求f A (a, ), f A (a)和f ( ).
f A (a,) J f XY ( x, y) J f XY (a cos, a sin )
f XY ( x, y) f X ( x) fY ( y)
x a J y a x cos y sin a sin a cos a


f X ( y1 , y y1 )dy1
9
例1.1.7 已知二维随机变量 X 1 , X 2 )的联合概率密 ( 度f X ( x1 , x2 ), 求X 1 , X 2之和Y X 1 X 2的概率密度 .
fY ( y) f X ( y1 , y y1 )dy1



fY2 ( y2 ) fY ( y1 , y2 )dy1

fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) Y1 X 2 h2 (Y1 , Y2 ) Y2 Y1

( ) pi e jxi 对于离散随机变量有:
i 1
jx 对于连续随机变量有: ( ) f ( x)e dx
随机变量X的第二特征函数定义为 特征函数的对数 ( ) ln ( )
13
特征函数的性质
性质 : () (0) 1 1
性质2 : 若Y aX b, a和b为常数, X ( )为 X的特征函数, 则Y的特征函数为:
f X ( x)dx
1
dx fY ( y ) f X ( x) dy
X 1 (Y ) h(Y )
f Y ( y ) f X ( x)
dx dy
fY ( y) f X (h( y)) h( y)
X 1 h1 (Y ) X 2 h2 (Y )
fY ( y)dy f X ( x1 )dx1 f X ( x2 )dx2
Y ( ) e jb X (a )
性质3 : 互相独立随机变量之和 的特征函数等于各随机 变量 特征函数之积 即 : 若Y X n , X n 之间相互独立 , ,
n 1 N
则 : Y ( ) E[e
jY
] X n ( )
n 1
14
N
随机变量X 1 , X 2 , X 3彼此独立, 且特征函数分别为 1 ( ), 2 ( ), 3 ( ), 求下列随机变量的特征 函数 : (1) X X 1 X 2 ; (3) X X 1 2 X 2 3 X 3 (2) X X 1 X 2 X 3 ; (4) X 2 X 1 X 2 4 X 3 10.
fY ( y1, y2 ) J f X ( x1, x2 ) J f X (h1 ( y1, y2 ), h2 ( y1, y2 ))
x1 y1 J x2 y1 x1 y2 x2 y2
J 雅可比行列式
5
例1.1.6 设X , Y是相互独立的高斯变量数学期望为零, , X A cos 方差相等 , A和为随机变量, 且 Y A sin

a 2
2

a2 2 2
e
A服从瑞利分布
2
f A (a) f A (a, )d

a 2
a
2

a2 2 2
0
e

d
a

a2 2 2

2
e
f ( ) 1 2

2
f A (a, )da
2

a2 2 2
0
2
2
X 1 h1 (Y1 , Y2 ) Y1 X 2 h2 (Y1 , Y2 ) Y2 Y1
J 1
fY ( y1 , y2 ) f X ( y1 , y2 y1 )