老师
姓名
汪小勇学生姓名李亿兴教材版本北师大
学科
名称
数学年级9 上课时间2014.04.05(08:00-10:00) 课题
名称
圆的有关证明
教学
重点
圆的切线证明
教学过程知识梳理
一、圆中的重要定理:
(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.
(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.
(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.
(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.
知识点一：判定切线的方法：
（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；
方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.
例1如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与⊙O相切.
变式1 如图，AD是∠BAC平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.
求证：PA与⊙O相切.
例2 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M
求证：DM 与⊙O 相切.
变式2、如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线
方法二：若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题） 例3：如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切.
与圆有关的计算典型基本图型：
图形1：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ACB=90°。
点O 是AC 上一点，以OC 为半径作⊙O 交AC 于点E ，基本结论有：
图2E
G O F
D
C B A
图1
E
O D C B
A
（1）在“BO 平分∠CBA”;“BO ∥DE”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC”。
四个论断中，知一推三。
（2）①G 是⊿BCD 的内心；② ；③⊿BCO ∽⊿CDE ⇒BO•DE=CO•CE=
2
1CE 2
； （3）在图（1）中的线段BC 、CE 、AE 、AD 中，知二求四。
图形2：如图：Rt ⊿ABC 中，∠ABC=90°,以AB 为直径作⊙O 交AC 于D ，基本结论有：
如右图：（1）DE 切⊙O ⇔E 是BC 的中点；
（2）若DE 切⊙O ，则：①DE=BE=CE ；
②D 、O 、B 、E 四点共圆⇒∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE 2, BA
BC BD
CD R
DE ==
图形3：如图，⊿ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点F ， 基本结论有：
（1）DE ⊥AC ⇔DE 切⊙O ； （2）在DE ⊥AC 或DE 切⊙O 下，有：①⊿DFC 是等腰三角形； ②EF=EC ；③D 是 的中点。
④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD ，产生母子三角形。
图形4：：以直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：
（1）如图1：①AD+BC ＝CD ； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD 平分∠ADC （或OC 平分∠BCD ）；（注：在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC ＝
AB 4
1
2=R 2； （2）如图2，连AE 、CO ，则有：CO ∥AE ，CO•AE=2R 2(与基本图形2重合)
图形5：如图：直线PR ⊥⊙O 的半径OB 于E ，PQ 切⊙O 于Q ，BQ 交直线PQ 于R 。
基本结论有：
（1）PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)；
（2）在“PR ⊥OB”、“PQ 切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 （3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB 2 O
E A
B
C D Q
R P E O B A Q R P E O B Q R P E O B
A Q R P E O
B F
E
D C
B O A BF CG=GD 图1O E D
C B A 图2F A B
C D E
O
O D
C B A 垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D. （1）求证：C
D 为⊙O 的切线；
（2）连BF 交AP 于E ，若BE=6，EF=2，求
AF
EF
的值。
变式1：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。
（1）求证：PC 为⊙O 的切线。
（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG=3，DE=4，求
DB
DG
的值。
课堂练习
1、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，AD ∥OC 交⊙O 于D 点，求证：CD 为⊙O 的切线；
2、如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，交斜边AC 于D ，点E 为BC 的中点，连结
O C F E D B A O
E D
C
B
A
DE ，求证：DE 是⊙O 的切线.
3、如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，AC 为∠EAB 的平分线。
过D 作AE 的垂线，F 为垂足.
（1）求证：DF 为⊙O 的切线；
（2）若DF=3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.
4、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E.
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）若BC=45，AE=1，求cos AEO ∠的值.
课后小结 上课情况：
课后需再巩固的内容：
教研组长签名。