与圆有关的证明问题
（时间：100分钟总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给
出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）
A．等腰梯形B．正方形C．菱形
D．矩形
2．如图1，DE是⊙O的直径，弦AB⊥ED于C，连结AE、BE、AO、BO，
则图中全等三角形有（）
A．3对B．2对C．1对D．0对
（1）(2) (3) (4)
3．垂径定理及推论中的四条性质：①经过圆心；②垂直于弦；③平
分弦；④平分弦所对的弧．由上述四条性质组成的命题中，假命题
是（）
A．①②⇒③④B．①③⇒②④
C．①④⇒②③D．②③⇒①④
4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心，•长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，长为半径的圆与AB相切；•③以点C为圆心，长为半径的圆与AB 相交，则上述结论正确的有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．在⊙O中，C是AB的中点，D是AC上的任意一点（与A、C不重合），则（）
A．AC+CB=AD+DB B．AC+CB<AD+DB
C．AC+CB>AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定
6．如图2，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，EF切⊙O于点C，则图中与∠ACB相等的角（不包括∠ACB）共有（）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图3，在△ABC中，AD是高，AE是直径，AE交BC于G，有下列四个结论：•①AD2=BD·CD；②BE2=EG·AE；③AE·AD=AB·AC；
④AG·EG=BG·CG．其中正确结论的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图4，AB是⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，
交⊙O于G．•下面的结论：①EC=DF；②AE+BF=AB；③AE=GF；④
FG·FB=EC·ED．其中正确的有（）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
9．如图5，圆内接△ABC的外角∠ACH的平分线与圆交于D点，DP⊥
AC，•垂足是P，DH⊥BH，垂足是H，下列结论：①CH=CP；②AD BD
=；
③AP=BH；④DH为圆的切线，其中一定成立的是（）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
(5) (6) (7) (8)
10．如图6，在⊙O中，AB=2CD，那么（）
A．2
AB CD
<
>B．2
AB CD
C．2
=D．AD与2CD的大小关系可能不确
AB CD
定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．在⊙O中，若AB⊥MN于C，AB为直径，MN•为弦，•试写出一个你认为正确的结论：_________．
12．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm，6cm，OO的长为3cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是_________．
13．如图7，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，连结AD、OD、BD，请你根据图中所给的条件（不再标字母或添辅助线），写出一个你认为正确的结论____________．14．已知⊙O的直径为10，P为直线L上一点，OP=5，那么直线L与⊙O•的位置关系是_______．
15．在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点O是△ABC的外心，现以O为圆心，•分别以2，2．5，3为半径作⊙O，则点C与⊙O的位置关系分别是________．
16．以等腰△ABC的一腰AB为直径作圆，交底边BC于D，则∠BAD 与∠CAD•的大小关系是∠BAD________∠CAD．
17．在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以C为圆心，以为半径的圆与直线AB•的位置关系是____________．
18．如图8所示，A、B、C是⊙O上的三点，当BC平分∠ABO时得结
论_________．
三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6
分，24题、25题每题8分，解答题应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
19．如图，AB是⊙O的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且OC=OD，求证：AC=BD．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC•交于点E，求证：△DEC为等腰三角形．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C ，
交AB•的延长线于D，求证：AC=CD．
22．如图20-12，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，AB AF
，BF 和AD交于E，
求证：AE=BE．
23．如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O2的弦相交于D，DE⊥OC，垂足为E．
（1）求证：AD=DC．（2）求证：DE是⊙O1的切线．
24．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28°．（1）求∠ACM的度数．（2）在MN上是否存在一点D，使AB·CD=AC·BC，说明理由．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）若圆心O与C重合时，⊙O与AB有怎样的位置关系
（2）若点O沿CA移动，当OC等于多少时，⊙O与AB相切
答案：
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．D 5．C 6．D 7．B 8．B 9．D 10．A 二、填空题
11．BM=BN等 12．内含 13．∠ADO=∠BDC等 14．相交或相切
15．在圆外、•在圆上、在圆内 16．= 17．相交 18．OC ∥AB 等
三、解答题
19．证明：过点O 作OE ∥AB 于E ，则AE=BE ．在△OCD 中，OE ⊥CD ，OC=OD ，
∴CE=•DE ．•∴AC=BD ．
20．证明：∵四边形ABDE 是圆内接四边形，∴∠DEC=∠B ． 又∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠DEC=∠C ，∴DE=CD ． ∴△DEC 为等腰三角形．
21．证明：连结BC ，由AB 是直径可知，
9030ACB A ∠=︒⎫
⎬∠=︒⎭
⇒∠ABC=60°．
CD 是切线⇒∠BCD=∠A=30°⇒∠D=30°=∠A ⇒AC=CD ． 22．证明：连结AB ，AC ，
90909090BC BAC ABC ACB AD BC ADB ABC BAD ⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎫
⎬⊥⇒∠=︒⇒∠+∠=︒⎭
是直径
ACB BAD
AB AF ACB ABF ⇒∠=∠⎫⎪
⎬=⇒∠=∠⎪⎭
⇒∠BAD=∠ABF ⇒AE=BE ．
23．证明：（1）连结OD ，AO 是直径
90ADO AO CO ⇒∠=︒⎫
⇒⎬=⎭
AD=DC ．
（2）连结O 1D ，
111O D O A A ADO OA OC A C =⇒∠=∠⎫
⎬=⇒∠=∠⎭
1
90C ADO DE CE C CDE ⇒∠=∠⎫
⎬⊥⇒∠+∠=︒⎭
1119090ADO CDE O DE D O ⇒∠+∠=︒⇒∠=︒⎫
⎬⎭
在上⇒DE 是切线．
24．解：（1）连结BC ，
9028AB ACB A ⇒∠=︒⎫
⎬∠=︒⎭
是直径⇒∠B=62°．
MN 是切线⇒∠ACM=∠B=62°．
（2）过点B 作BD ⊥MN ，则
190BDC ACB
MN BCN A ∠=︒=∠⎫
⎬⇒∠=∠⎭
是切线⇒△ACB ∽△CNB
⇒
1AC AB
CD BC
=⇒AB ·CD 1=AC ·BC ． 过点A 作AD 2⊥MN ，则
190AD C ACB
MN MCA CBA ∠=︒=∠⎫
⎬⇒∠=∠⎭
是切线⇒△ABC ∽△ACD 2
⇒2CD AC AB CB
=⇒CD 2·AB=AC ·CB 25．解：（1）过点C 作CH ⊥AB 于H ，由三角形的面积公式得AB ·CH=AC ·BC ，
∴CH=AC BC AB =6013，即圆心到直线的距离d=6013． ∵d=6013
>3，∴⊙O 与AB 相离． （2）过点O 作OE ⊥AB 于E ，则OE=3．
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A ，∴△AOE ∽△ABC ， ∵OA=OE AB BC =31313124
⨯= ∴OC=AC-OA=5-134=74． ∴当OC=7
4时，⊙O 与AB 相切．。