2017年全国初中数学联赛决赛试卷B
(3月26日 上午8:45—11:15） （本试卷由李庄中学 况永胜（QQ:369132130录入）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
本题共有6小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的。

将你选择的答案的代号填在题号的括号内，每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、若q 是质数，且q +1 是完全平方数，就称q 为P 型质数，则P 型质数的个数是( )
A 、0
B 、1
C 、2
D 、无数个
2、已知k 为正实数，一次函数y =kx +1与反比例函数y = k x 的图象交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若||x 1-x 2=5，则k 的值是( )
A 、1
B 、 2
C 、 3
D 、2
3、已知AD 、BE 、CF 为锐角△ABC 三边上的高，若AB =26，EF BC = 513，
则BE 的长度是（ ） A 、10 B 、12 C 、13 D 、24
4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC =90°，E 是腰AD 的中点，若EC = 13，AB +BC +CD =226,则∠BCE = ( )
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
5、若实数k 使得关于x 的方程(x 2–1)(kx 2–6x –8)=0恰有三个不同的实数根，则称k 为“好数”，
则“好数”k 的个数是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
6.记正整数m 的各位数字之和为S (m )，比如S (2017)=2+0+1+7=10，现从1，2，3，…,2016,2017这2017个正整数中，任意取出n 个不同的数，都能在这n 个数中找到a 1，a 2，…，a 7，a 8， 使得S (a 1) = S (a 2)= …= S (a 7) = S (a 8)，则正整数n 的最小值是（ ）
A 、185
B 、187
C 、189
D 、191
二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）
本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上.
7、若x =3–2，则 –x 2–2x x 2–1÷ ( 1||x +1 + 1||x –1 )的值是
8、在平面直角坐标系中，点O （0，0）、A （0，6）、B （-3，2）、C （-2，9），点P 为线段OA （含端点）上任意一点，则PB +PC 的最小值是
9、有4只杯口全朝上的茶杯，现在每次翻转3只，翻动的茶杯允许再翻，经过n 次翻动后，使得杯口全朝下，则正整数n 的最小值是
(注：所谓一只茶杯的一次翻转是指将该茶杯的杯口朝上（下）翻为杯口朝下（上）)
10、设A 、B 为抛物线y = x 2上两点，该两点在y 轴两侧，满足AB =4，记△AOB 的面积为S ，其中O 为坐标原点，则S 的最大值是
三、解答题（本题满分20分）
11、设a 、b 、c 是任意三个互不相等的有理数，证明：
1(a –b )2 + 1(b –c )2 + 1(c –a )2 是有理数.
Q C
四、解答题（本题满分25分）
12、如图，正方形ABCD 绕A 点逆时针旋转到正方形APQR ，连接CQ ，延长BP 交CQ 于点E .
(1)求证：E 是线段CQ 的中点；
(2)若CP ⊥BE ，求 BP
PE 的比值.
五、解答题（本题满分25分）
13、如图，以直角△ABC (其中∠C =90°)的三边CA 、CB 、AB 向外分别作正方形CADE 、BCFG 、ABHI ，记边CB 、CA 的长分别为a 、b ；凸六边形DEFGHI 的面积为S .
问:是否在正整数a 、b 使得S =2016?若存在，请求出所有的正整数a 、b ，若不存在，请说明理由。