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2017年全国初中数学联合竞赛试题(pdf版,含答案)
D.4.
()
若 (a,b, c) 为好数组,则 abc 2(a b c) 6c ,所以 ab 6 .显然, a 只能为 1 或 2.
若 a =2,由 ab 6 可得 b 2 或 3, b 2 时可得 c 4 , b 3 时可得 c 5 (不是整数); 2
若 a =1,则 bc 2(1 b c) ,于是可得 (b 2)(c 2) 6 ,可求得 (a,b, c) =(1,3,8)或(1,4,
若 b =6,则 (a 9)2 0 ,解得 a 9 ,此时 c 18 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页(共 7 页)
因此, a 9 , b =6, c 18 ,故 a2 b2 c2 =441.
5.设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点,若 BAD ACB 180,且 BC 3,AD 4 ,
(2)以 a 2,b 3,c 4 为边长可以构成三角形,但以 a2 4,b2 9,c2 16 为边长的三角形不存在;
(3)因为 a b c ,所以 | a b | 1 a b 1,| b c | 1 b c 1,| c a | 1 a c 1 ,故三条边中 | c a | 1 大于或等于其余两边,而(| a b | 1)(| b c | 1)(a b 1)(b c 1)=a c 11 a c 1 | c a | 1 ,故
2
4
2
设 m 是最接近 n 的整数,则| m n | 1 , m 1. 2
易知:当 m 1时,| m n | 1 (m 1)2 n (m 1)2 m2 m 1 n m2 m 1 .
2
2
2
4
4
于是可知:对确定的正整数 m ,当正整数 n 满足 m2 m 1 n m2 m 时,m 是最接近 n 的整数,
以 | a b | 1 , | b c | 1, | c a | 1 为边长的三角形一定存在.
3.若正整数 a,b, c 满足 a b c 且 abc 2(a b c) ,则称 (a,b, c) 为好数组.那么,好数组的个数
为 A. 1. 【答】C.
B.2.
C.3.
第一试(A)
一、选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分)
1.已知实数 a,b, c 满足 2a 13b 3c 90, 3a 9b c 72 ,则 3b c = a 2b
A. 2.
B. 1.
C. 0.
D. 1.
【答】B.
()
已知等式可变形为 2(a 2b) 3(3b c) 90 , 3(a 2b) (3b c) 72 ,解得 a 2b 18 ,
验证可知: a 1是原方程的增根, a 8 是原方程的根.
所以, a 8.
A
D
2.如图,平行四边形 ABCD 中,ABC 72 , AF BC 于点 F , AF
交 BD 于点 E ,若 DE 2AB ,则 AED =_______.
【答】 66 . 取 DE 的中点 M ,在 Rt △ ADE 中,有 AM EM 1 DE AB .
AC 5, AB 6,则 DO = OB
()
A. 10 .
B. 8 .
C.Hale Waihona Puke 6 .D. 4 .9
7
5
3
D
【答】A.
过 B 作 BE // AD , 交 AC 的 延 长 线 于 点 E , 则 ABE 180 BAD
E C
ACB ,所以△ ABC ∽△ AEB ,所以 AC BC ,所以
其中正确结论的个数为
()
A.0.
B.1.
C.2.
D.3.
【答】C. 不妨设 a b c ,则有 b c a .
(1)因为 b c a ,所以 b c 2 bc a ,即 ( b c)2 ( a)2 ,即 b c a ,故以 a, b, c 为 边长的三角形一定存在;
数字是 01.
所以 t 的最小值为 5,从而可得 m n 的最小值为 10.
4.若实数 x, y 满足 x3 y3 3xy 1,则 x2 y2 的最小值为
.
【答】 1 . 2
因为
0 x3 y3 3xy 1 (x y)3 (1)3 3x2 y 3xy2 3xy
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在 评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.
O
AB EB
EB AB BC 63 18 .
AC
55
A
B
再由 BE // AD ,得 DO AD OB BE
4 18
10 . 9
5
5.设 A 是以 BC 为直径的圆上的一点,AD BC 于点 D ,点 E 在线段 DC 上,点 F 在 CB 的延长线上,
满足 BAF CAE .已知 BC 15 , BF 6 , BD 3 ,则 AE =
()
A
A. 4 3 .
B. 2 13 .
C. 2 14 . D. 2 15 .
【答】B.
F
B
D
E
C
如图,因为 BAF CAE ,所以 BAF BAE CAE BAE ,即
FAE BAC 90 .
又因为 AD BC ,故 AD2 DE DF DB DC .
8 个 4,……,26 个 13,18 个 14.
所以 1 1 1 1 21 4 1 6 1 26 1 18 1 191 .
a1 a2 a3
a200
123
13 14 7
二、填空题:(本题满分 28 分,每小题 7 分)
1.使得等式 1 1 a 3 a 成立的实数 a 的值为_______. 【答】 8 . 由所给等式可得 (1 1 a)3 a2 .
即 an m .所以,使得 an = m 的正整数 n 的个数为 2m . 注意到132 13 182 200 142 14 210 ,因此, a1, a2,, a200 中,有:2 个 1,4 个 2,6 个 3,
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 2 页(共 7 页)
故二次函数
y a3x2 b3x c3 的 判 别 式 2
(b3)2 4a3c3 b6 1 (4ac)3 b6 1 (b2 )3
16
16
15 b6 16
0 ,所以,二次函数 y a3x2 b3x c3 的图象与 x 轴有两个交点.
2.题目和解答与(A)卷第 1 题相同. 3. 题目和解答与(A)卷第 3 题相同.
若 b =1,则 (a 9)2 75 ,无正整数解;
若 b =2,则 (a 9)2 72 ,无正整数解;
若 b =3,则 (a 9)2 63 ,无正整数解;
若 b =4,则 (a 9)2 48 ,无正整数解;
若 b =5,则 (a 9)2 27 ,无正整数解;
所以 x y 1或 x y 1.
若 x y 1,则 x2 y2 =2.
若 x y 1,则 x2 y2 1 [(x y)2 (x y)2 ] 1 [1 (x y)2 ] 1 ,当且仅当 x y 1 时等号
2
2
2
2
成立.
所以, x2 y2 的最小值为 1 . 2
.
【答】10.
由题意知,9m 9n 9n (9mn 1) 是 100 的倍数,所以 9mn 1是 100 的倍数,所以 9mn 的末两位数
字是 01,显然, m n 是偶数,设 m n 2t ( t 是正整数),则 9mn 92t 81t .
计算可知: 812 的末两位数字是 61, 813 的末两位数字是 41, 814 的末两位数字是 21, 815 的末两位
n 的整数,则 1 1 1 1 (
a1 a2 a3
a200
)
A. 191 . 7
B. 192 . 7
C. 193 . 7
D. 194 . 7
【答】A.
对于任意自然数 k , (k 1)2 k 2 k 1 不是整数,所以,对于正整数 n , n 1 一定不是整数.
令 x 1 a , 则 x 0 , 且 a x2 1 , 于 是 有 (1 x)3 (x2 1)2 , 整 理 后 因 式 分 解 得
x(x 3)(x 1)2 0 ,解得 x1 0 , x2 3 , x3 1 (舍去),所以 a 1或 a 8 .
2017 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 7 页)
5). 综合可知:共有 3 个好数组,分别为(2,2,4),(1,3,8)和(1,4,5).
4.设 O 是四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 的交点,若 BAD ACB 180,且 BC 3,AD 4 ,
第一试(B)
一、选择题:(本题满分 42 分,每小题 7 分)
1.已知二次函数 y ax2 bx c(c 0) 的图象与 x 轴有唯一交点,则二次函数 y a3x2 b3x c3 的
图象与 x 轴的交点个数为