函数的综合知识点及题型归纳总结题型归纳及思路提示题型1 函数与数列的综合思路提示 利用函数与数列知识的相互联系、相似性质： （1）抽象函数的关系与数列递推关系式类似. (2)函数单调性与数列单调性的相似性.（3）数列与不等式的综合可以利用数列的形式构造辅助函数，利用函数的性质证明不等式，因此解决数列问题可转化为函数问题，用函数的知识或方法解决.例2.79 （2012四川理12）设函数(){}n a x x x f ,cos 2-=是公差为8π的等差数列， ()()(),5521π=+++a f a f a f Λ则()[]=-5123a a a f f （ ）A 、0B 、2161π C 、281π D 、21613π 分析 本题将数列与函数结合，其解题思路是研究函数性质（单调性、奇偶性）与数列的特征. 解析 由()x x x f cos 2-=得ππππ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+x x x x x f sin 22cos 222， 令(),sin 2x x x g +=则()x g 在R 上为单调递增的奇函数，故()()(),5521π=+++a f a f a f Λ⇔πππππππ5222521=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫⎝⎛-a g a g a g Λ⇔ 0222521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππa g a g a g Λ设,2π-=n n a b 则{}n b 也为等差数列，且()()()0521=+++b g b g b g Λ○1，下证03=b .反证法，若,03>b 则,02,02342351>=+>=+b b b b b b 故0,,34251>->->b b b b b，又()x g 是R 上单调递增的奇函数，所以()()()()()5513,00b g b g b g g b g -=->=>，()()(),442b g b g b g -=->以上相加得()()()0521>+++b g b g b g Λ与○1矛盾，故假设“03>b ”不成立，同理“03<b ”也不成立，故,03=b 即.23π=a又数列{}n a 的公差为8π，所以.43,85,83,45421ππππ====a a a a()[].16131631632222225123πππππ=-=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=-f a a a f 故选D.评注 本题构造了单调递增的奇函数(),x g 使得解题思路茅塞顿开，较之其他解法本法更胜一筹，望同学品评.变式1 已知函数(),tan sin x x x f +=项数为2015的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差,0≠d 若()()(),0201521=+++a f a f a f Λ则当=k 时，().0=k a f题型2 函数与不等式的综合思路提示 不等式问题转化为函数问题是静态转化为动态，常量转化为变量，这体现了函数思想，并能用函数的图像及性质解答. 例2.80已知函数()(),011>-=x xx f （1）当b a <<0且()()b f a f =时，求证：1>ab ；（2）是否存在实数(),,b a b a <使得函数()x f y =的定义域和值域都是[]b a ,，若存在，求出b a ,的值，若不存在，请说明理由；（3）若讯在实数(),,b a b a <使得函数()x f y =的定义域为[]b a ,，值域为[]mb ma ,()0≠m ，求m 得取值范围.解析 （1）函数()()011>-=x xx f 的图像如图2—33所示，当b a <<0且()()b f a f =时，,1111ba -=-则,12211,1111ab b a b a >=+-=-即,11<ab 得.1>ab（2）假设存在实数(),,b a b a <使得函数()x f y =的定义域和值域都是[]b a ,， ○1当10≤<<b a 时，函数()x f 单调递减， ()(),1,1111,1,1111ab b a bb b f ab a b a a a f =-=-=-==-=-=-=则当b a = ，不符号题意，故舍去；○2当b a <<<10时，函数()x f 在()1,a 上单调递减，在()b ,1上单调递增，故()()01min ==f x f 与()0min >=a x f 矛盾，故舍去;○3当b a <≤1时，函数()x f 在[]b a ,上单调递增，且(),10<<x f 与 ()1min >=b x f 矛盾.综上，不存在实数(),,b a b a <使得函数()x f y =的定义域和值域都是[]b a , （3）依题意，0>m○1当10≤<<b a 时，函数()x f 在[]b a ,上单调递减，则()(),⎩⎨⎧==mab f mba f 即,1111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ma bmb a得,b a =与b a <矛盾，故舍去； ○2当b a <<<10时，()0min =x f ，与()0min >=ma x f 矛盾，舍去； ○3当b a <≤1时，函数()x f 在[]b a ,上单调递增，则()(),⎩⎨⎧==mb b f maa f 即,1111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-mb bma a 故方程,11mx x =-即方程012=+-x mx 存在两个大于1的实根，满足,1210410⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-=∆>mm m 得.410<<m 综上，m 的取值范围是.41,0⎪⎭⎫⎝⎛变式1 对于函数()x f y =，若存在区间[]b a ,，当[]b a x ,∈时的值域为[]kb ka ,()0>k ，则称()x f y =为k 倍值函数.()x x x f +=ln 是k 倍值函数.则实数k 的取值范围是 .题型2 函数中的创新题 思路提示紧扣题目中所给的信息和对已知条件的解读理解，将其转化为已有的认知结构，然后利用函数性质解题.例 2.81 设函数()x f 的定义域为D ,若存在非零实数l 使得对于任意,M x ∈()D M ⊆，有,D l x ∈+且()(),x f l x f ≥+则称()x f 为M 上的l 高调函数.如果定义域为[)+∞-,1的函数()2x x f =为[)+∞-,1上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ；如果定义域为R 的函数()x f 是奇函数，当0≥x 时，()22a a x x f --=且()x f 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 .解析 解法一：由高调函数定义可知，对[)()()x f m x f x ≥++∞-∈∀,,1恒成立，即不等式()[)+∞-∈≥+,1,22x x m x 恒成立，,022≥+mx m 令(),22m mx x g +=则(),010⎩⎨⎧≥->g m 得.2≥m 故m 的取值范围是.解法二：（图示法）.如图2—34（a ）所示，()[)+∞-∈≥+,1,22x x m x 恒成立，所以()(),1122-≥+-m 即,11≥-m 则,2≥m 故实数m 的取值范围是[)+∞,2.函数()22a a x x f --=()0≥x 的图像如图2—34(b)所示，又函数()x f 为R 上的奇函数，利用对称性作出函数()x f 的图像，若()x f 为R 上的4高调函数，则需满足,442≤a 得.1≤≤-a 故实数a 的取值范围是[].1,1-变式1 如果函数()x f 在区间D 上有定义，且对任意,,,2121x x D x x ≠∈都有()(),222121x f x f x x f +<⎪⎭⎫ ⎝⎛+则称函数()x f 为区间D 上的凹函数. （1）已知()()(),1ln R x x e x f x∈-+=判断()x f 是否为凹函数，若是，请给出证明，若不是，请说明理由；（2）对于（1）中的函数()x f 有下列性质：若[]b a x ,∈，则存在[].,0b a x ∈使得()()()0x f ab a f b f '=--成立.利用该性质证明0x 唯一；（3）设C B A ,,是函数()()R x x e x f x∈-+=)1ln(图像上3个不同的点，求证：△ABC 是钝角三角形.最有效训练题1、已知数列{}n a ，那么“对任意的N n ∈，点()n n a n P ,都在直线34-=x y 上”是“{}n a 为等差数列”的 （ ）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 2、已知d c b a ,,,成等比数列，且曲线322+-=x x y 的项点是()c b ,，则ad =（ ）Ａ、3 B 、2 C 、1 D 、2-3、已知数列{}{}n n b a ,满足,11=a 且1,+m m a a 时函数()mm x b x x f 22+-=的两个零点，则=10b （ ） A 、24 B 、32 C 、48 D 、64 4、已知()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x f x F 是R 上的奇函数，()Λ+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n f n f f a m 210 ()(),11*∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+N n f n n f 则数列{}n a 的通项公式为 （ ）Ａ、1-=n a n B 、n a n = C 、1+=n a n D 、2n a n =5、,为非零向量，“⊥” 是“函数()()()x x x f -⋅+=为一次函数”的 （ ） A 、必要不充分条件 B 、充分不必要条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 6、在区间[]1,0上任意取实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅有一个零点的概率为 ( ) A 、81 B 、41 C 、87 D 、43 7、已知关于x 的一次函数n mx y +=，设集合{}{},3,2,3,2,1,1,2-=--=Q P 分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，函数n mx y +=时增函数的概率为 .8、已知函数()()(),01012⎩⎨⎧<≥+=x x x x f 则满足不等式()()x f x f 212>-的x 的取值范围是 . 9、已知函数()x f 在定义域()+∞,0上是单调函数，若对任意()+∞∈,0x ，都有()21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f f ，则=⎪⎭⎫⎝⎛51f . 10、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数()x f 的图像恰好通过()*∈N k k 个格点，则称函数()x f 为k 阶格点函数，下列函数： ○1()x x f 5.0log = ； ○2()xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=51 ； ○3()23632++-=πππx x x f ；○4().cos sin 24x x x f += 其中是一阶格点函数的有 . 11、已知函数()()1lg +=x x f .(1)若()(),1210<--<x f x f 求x 得取值范围；（2）若()x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()x f x g =，求函数()x g y =的解析式.12、已知()x f 在()1,1-上有定义，121=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，且满足()1,1,-∈y x 时有()()=-y f x f⎪⎪⎭⎫⎝⎛--xy y x f 1，数列{}n x 满足.12,21211n n n x x x x +==+ （1）求()0f 的值，并证明()x f 在()1,1-上为奇函数； （2）探索()1+n x f 与()n x f 的关系式，并求()n x f 得表达式； （3）是否存在自然数m ，使得对于任意的()()()48111,21->+++∈*m x f x f x f N n n Λ恒成立？若存在，求出m 的最大值.。