2019-2020学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）关于x的一元二次方程（3﹣a）x2﹣x+4＝0，则a的条件是（）A．a≠1B．a≠2C．a≠3D．a≠42．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a应满足（）A．a＜1B．a≤1C．a＞1D．a≥13．（4分）下列说法正确的是（）A．“概率为0.0001的事件”是不可能事件B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次C．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件D．“任意画出一个平行四边行，它是中心对称图形”是必然事件4．（4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（4分）⊙O的直径AB＝10cm，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP：OB＝3：5，则CD的长为（）A．6cm B．4cm C．8cm D．cm6．（4分）在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为，则原来盒里有白色棋子（）A．1颗B．2颗C．3颗D．4颗7．（4分）关于二次函数y＝﹣（x+1）2+2的图象，下列判断正确的是（）A．图象开口向上B．图象的对称轴是直线x＝1C．图象有最低点D．图象的顶点坐标为（﹣1，2）8．（4分）如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3③a+b+c＞0④当x＞1时，y随x的增大而减小．不正确的说法有（）A．①B．①②C．①③D．②④9．（4分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4B．6C．8D．1010．（4分）将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．25π二、填空题（每小题5分，满分20分）11．（5分）二次函数y＝的顶点坐标是．12．（5分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5＝0的一个根是2，则8a﹣12b的值是：．13．（5分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1＝110°，则∠α＝．14．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动（任何一个点到达停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为．三、（本题2小题，每题8分，共16分）15．（8分）用适当的方法解下列方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）16．（8分）如图，△ABC的三个顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为A（3，3），B（2，1），C（5，1），将△ABC 绕点O逆时针旋转180°得△A′B′C′，请你在平面直角坐标系中画出△A′B′C′，并写出△A′B′C′的顶点坐标．四、（本题2小题，每题8分，共16分）17．（8分）为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼老汉首先从鱼塘中打捞n条鱼，并在每一条鱼身上做好记号，然后把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，让鱼儿充分游动，再从鱼塘中打捞a条鱼，如果在这a条鱼中有b条是有记号的，那么养鱼老汉就能估计鱼塘中鱼的条数．请写出鱼塘中鱼的条数，并说明理由．18．（8分）如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB＝AC．五、（本题2小题，每题10分，共20分）19．（10分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1和2；乙袋中有3个完全相同的小球，分别标有数字1，2和3，小明从甲袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出1个小球，记录标有的数字为y，这样确定了点M的坐标（x，y）．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M在直线y＝﹣x+3上的概率．20．（10分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓单价为40元．如果批发商希望通过销售完这批T恤共获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？六、本题12分21．（12分）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC＝BC，AC＝OB．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠ACD＝45°，OC＝2，求弦CD的长．七、本题12分22．（12分）如图，一次函数y＝分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？八、本题14分23．（14分）阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2．以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON＝90°．将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O交于点E、F，分别与正方形ABCD的边交于点G、H．设由OE、OF、及正方形ABCD的边围成的图形（阴影部分）的面积为S．（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S1、S2之间的关系为：（用含S1、S2的代数式表示）；（2）当OM⊥AB于G时（如图②），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．2019-2020学年安徽省合肥市庐江县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，满分40分）1．【解答】解：由题意得：3﹣a≠0，a≠3，故选：C．2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，∴△＝4﹣4a≥0，解得：a≤1；故选：B．3．【解答】解：A、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；B、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．C、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；D、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；故选：D．4．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．5．【解答】解：如图1，连结OC，∵直径AB＝10cm，OP：OB＝3：5，∴OP＝3cm，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，在Rt△OPC中，OC＝5，OP＝3，∴PC＝＝4，∴CD＝2PC＝8（cm）．如图2，与前面的求法一样可得到CD＝8cm．故选：C．6．【解答】解：由题意得，解得．故选：B．7．【解答】解：∵﹣1＜0，∴函数的开口向下，图象有最高点，∵这个函数的顶点是（﹣1，2），∴对称轴是x＝﹣1，故选：D．8．【解答】解：①由函数图象知，a＜0，c＞0，故ac＞0不正确，不符合题意；②函数与x轴的另外一个交点为：（﹣1，0），故方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3正确，不符合题意；③当x＝1时，y＝a+b+c＞0，正确，不符合题意；④当x＞1时，y随x的增大而减小．正确，不符合题意；故选：A．9．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选：A．10．【解答】解；如图，作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，∵OD＝AO，∴∠OAD＝30°，∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，同理∠BOC＝120°，∴∠AOC＝120°，∴阴影部分的面积＝S扇形AOC＝＝π．故选：B．二、填空题（每小题5分，满分20分）11．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，∴抛物线顶点坐标为（6，3）．故答案为：（6，3）．12．【解答】解：把x＝2代入方程ax2﹣3bx﹣5＝0得4a﹣6b﹣5＝0，所以4a﹣6b＝5，所以8a﹣12b＝2（4a﹣6b）＝2×5＝10．故答案为10．13．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′＝∠D＝90°，∠4＝α，∵∠1＝∠2＝110°，∴∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，∴∠4＝90°﹣70°＝20°，∴∠α＝20°．故答案为：20°．14．【解答】解：∵动点F，E分别以相同的速度从D，C两点同时出发向C和B运动，∴DF＝CE，∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝CB＝AB，∠DCB＝∠ABC＝90°，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，而∠ABP+∠PBE＝90°，∴∠P AB+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，如图，连接OP、OC，在Rt△OCB中，OC＝＝，∵CP≥OC﹣OP（当且仅当O、P、C共线时取等号），∴OP的最大值为OC﹣OP＝﹣1．故答案为﹣1．三、（本题2小题，每题8分，共16分）15．【解答】解：∵x（x﹣7）+8（x﹣7），∴（x﹣7）（x+8）＝0，∴x1＝7，x2＝﹣8．16．【解答】解：如图，△A′B′C′为所作，A′（﹣3，﹣3），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣5，﹣1）．四、（本题2小题，每题8分，共16分）17．【解答】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，∴有标记的鱼占，∵共有n条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有n÷＝（条）．18．【解答】证明：∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠EDF．∵∠EDF＝∠ADB，∴∠CDE＝∠ADB．∵∠CDE＝∠ABC，∠ADB＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．五、（本题2小题，每题10分，共20分）19．【解答】解：（1）列表如下：1230（0，1）（0，2）（0，3）1（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）从表格中可知，点M坐标总共有九种可能情况：（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）．（2）当x＝0时，y＝﹣0+3＝3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝2时，y＝﹣2+3＝1，由（1）可得点M坐标总共有九种可能情况，点M落在直线y＝﹣x+3上（记为事件A）有3种情况．∴P（A）＝．20．【解答】解：设第二个月每件降价元，则第二个月的单价是（80﹣x）元，根据题意，得80×200+（80﹣x）（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800＝9000整理，得x2﹣20x+100＝0，解这个方程得x1＝x2＝10，当x＝10时，80﹣x＝70＞50，符合题意．答：第二个月的单价应是70元．六、本题12分21．【解答】（1）证明：如图，连接OA；∵OC＝BC，AC＝OB，∴OC＝BC＝AC＝OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O＝∠OCA＝60°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA＝∠CAB+∠B＝2∠B，∴∠B＝30°，又∠OAC＝60°，∴∠OAB＝90°，∴AB是⊙O的切线；（2）解：作AE⊥CD于点E，∵∠O＝60°，∴∠D＝30°．∵∠ACD＝45°，AC＝OC＝2，∴在Rt△ACE中，CE＝AE＝；∵∠D＝30°，∴AD＝2，∴DE＝AE＝，∴CD＝DE+CE＝+．七、本题12分22．【解答】解：（1）∵一次函数y＝分别交y轴、x轴于A、B两点，∴x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝4，∴A（0，2），B（4，0），将x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2将x＝4，y＝0，c＝2代入y＝﹣x2+bx+c，得到b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵作垂直x轴的直线x＝t，在第一象限交直线AB于M，∴由题意，易得M（t，﹣t+2），N（t，﹣t2+t+2），从而得到MN＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+4t（0＜t＜4），当t＝﹣＝2时，MN有最大值为：＝4．八、本题14分23．【解答】解：（1）当OM经过点A时由正方形的性质可知：∠MON＝90°，∴S△OAB＝S正方形ABCD＝S2，S扇形OEF＝S圆O＝S1，∴S＝S扇形OEF﹣S△OAB＝S圆O﹣S正方形ABCD＝S1﹣S2＝（S1﹣S2），故答案为：S＝（S1﹣S2）；（2）结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF＝90°，∴S扇形OEF＝S圆O＝S1∵∠OGB＝∠EOF＝∠ABC＝90°，∴四边形OGBH为矩形，∵OM⊥AB，∴BG＝AB＝BC＝BH，∴四边形OGBH为正方形，∴S四边形OGBH＝BG2＝（AB）2＝S2，∴S＝S扇形OEF﹣S四边形OGBH＝S1﹣S2＝（S1﹣S2）；（3）（1）中的结论仍然成立，理由如下：∵∠EOF＝90°，∴S扇形OEF＝S圆O＝，过O作OR⊥AB，OS⊥BC，垂足分别为R、S，由（2）可知四边形ORBS为正方形，∴OR＝OS，∵∠ROS＝90°，∠MON＝90°，∴∠ROG＝∠SOH＝90°﹣∠GOS，在△ROG和△SOH中，，∴△ROG≌△SOH（ASA），∴S△ORG＝S△OSH，∴S四边形OGBH＝S正方形ORBS，由（2）可知S正方形ORBS＝S2，∴S四边形OGBH＝S2，∴S＝S扇形OEF﹣S四边形OGBH＝（S1﹣S2）．。