2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1．以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．方程x（x﹣1）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2 3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．下列说法正确的是（）A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等5．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（）A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定6．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200⋅2⋅x＝1000C．200+200⋅3⋅x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝10007．用配方法解方程2x2+3＝7x时，方程可变形为（）A．B．C．D．8．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和59．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE重合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果BA ∥DE，那么n的值是（）A．105 B．95 C．90 D．7510．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2C．4﹣2 D．2﹣2二．填空题（共4小题）11．抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为．12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为．三．解答题（共9小题）15．解方程：（x﹣2）（x﹣1）＝3x﹣616．已知抛物线y＝x2+mx﹣10与x轴的一个交点是（﹣，0），求m的值及另一个交点坐标．17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．18．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数…正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数…（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在奇数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．19．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，顶点坐标为（1，﹣4）（1）求二次函数解析式；（2）该二次函数图象上是否存在点M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出点M的坐标．20．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD交AB 于E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．22．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．时间（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90当天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大值是多少？（3）共有多少天日销售利润不低于4800元？23．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．以下五个图形中，是中心对称图形的共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断．【解答】解：从左起第2、4、5个图形是中心对称图形，故选：B．2．方程x（x﹣1）＝x的解是（）A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝0，x2＝2 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x（x﹣1）＝x，x（x﹣1）﹣x＝0，x（x﹣1﹣1）＝0，x＝0，x﹣1﹣1＝0，x1＝0，x2＝2．故选：D．3．抛物线y＝2（x+3）2+5的顶点坐标为（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】因为y＝2（x+3）2+5是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝2（x+3）2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．4．下列说法正确的是（）A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【解答】解：A、是随机事件，错误；B、中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，错误；C、明天下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；D、正确．故选：D．5．已知AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝6，CD＝8，⊙O的半径为5，则AB与CD的距离是（）A．1 B．7 C．1或7 D．无法确定【分析】由于弦AB、CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦A和CD 在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图①，过点O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB＝8，CD＝6，∴AE＝4，CF＝3，∵OA＝OC＝5，∴由勾股定理得：EO＝＝3，OF＝＝4，∴EF＝OF﹣OE＝1；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图②，过点O作OE⊥AB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，EF＝OF+OE＝7，所以AB与CD之间的距离是1或7．故选：C．6．某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（）A．200（1+x）2＝1000B．200+200⋅2⋅x＝1000C．200+200⋅3⋅x＝1000D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000【分析】设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为200（1+x）万元，三月份的营业额为200（1+x）2万元，根据题意得：200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故选：D．7．用配方法解方程2x2+3＝7x时，方程可变形为（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】解：原方程化为：2x2﹣7x+3＝0，∴x2﹣x+＝0，∴（x﹣）2＝，故选：A．8．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．9．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE重合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果BA ∥DE，那么n的值是（）A．105 B．95 C．90 D．75【分析】画出图形求解即可．【解答】解：∵三角尺DEF绕着点F按逆时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），BA∥DE，∴旋转角＝90°+45°﹣30°＝105°，故选：A．10．如图，点E、F是边长为4的正方形ABCD边AD、AB上的动点，且AF＝DE，BE交CF于点P，在点E、F运动的过程中，PA的最小值为（）A．2 B．2C．4﹣2 D．2﹣2【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取BC的中点O，连接OP、OA，然后求出OP＝CB＝2，利用勾股定理列式求出OA，然后根据三角形的三边关系可知当O、P、A三点共线时，AP的长度最小．【解答】解：在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°如图，取BC的中点O，连接OP、OA，则OP＝BC＝2，在Rt△AOB中，OA＝＝＝2 ，根据三角形的三边关系，OP+AP≥OA，∴当O、P、A三点共线时，AP的长度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝2 ﹣2．故选：D．二．填空题（共4小题）11．抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y＝﹣+1 ．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：抛物线y＝﹣x2向上平移1个单位长度得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠DCB＝32°．则∠ABD＝58°【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出∠DCB＝∠A＝32°，再根据直径所对的圆周角为90°，求出∠ABD的度数．【解答】解：∵∠DCB＝32°，∴∠A＝32°，∵AB为⊙O直径，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣32°＝58°．故答案为：58°13．如果关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k≠﹣2 ．【分析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥0，得关于k的不等式，求解即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，∴△≥0且k+2≠0即（﹣3）2﹣4（k+2）×1≥0且k+2≠0整理，得﹣4k≥﹣1且k+2≠0∴k≤且k≠﹣2．故答案为：k≤且k≠﹣2．14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝20°，点O是AB的中点，将OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，当△ACP为等腰三角形时，α的值为40°或70°或100°．【分析】连结AP，如图，由旋转的性质得OP＝OB，则可判断点P、C在以AB为直径的圆上，利用圆周角定理得∠BAP＝∠BOP＝α，∠ACP＝∠ABP＝90°﹣α，∠APC＝∠ABC＝70°，然后分类讨论：当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，即90°﹣α＝70°；当PA ＝PC时，∠PAC＝∠ACP，即α+20°＝90°﹣α，；当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，即α+20°＝70°，再分别解关于α的方程即可．【解答】解：连结AP，如图，∵点O是AB的中点，∴OA＝OB，∵OB绕点O顺时针旋转α角时（0°＜α＜180°），得到OP，∴OP＝OB，∴点P在以AB为直径的圆上，∴∠BAP＝∠BOP＝α，∠APC＝∠ABC＝70°，∵∠ACB＝90°，∴点P、C在以AB为直径的圆上，∴∠ACP＝∠ABP＝90°﹣α，∠APC＝∠ABC＝70°，当AP＝AC时，∠APC＝∠ACP，即90°﹣α＝70°，解得α＝40°；当PA＝PC时，∠PAC＝∠ACP，即α+20°＝90°﹣α，解得α＝70°；当CP＝CA时，∠CAP＝∠CAP，即α+20°＝70°，解得α＝100°，综上所述，α的值为40°或70°或100°．故答案为40°或70°或100°．三．解答题（共9小题）15．解方程：（x﹣2）（x﹣1）＝3x﹣6【分析】利用因式分解法求解可得．【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣1）﹣3（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，则x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得x＝2或x＝4．16．已知抛物线y＝x2+mx﹣10与x轴的一个交点是（﹣，0），求m的值及另一个交点坐标．【分析】首先将点（﹣，0）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得m的值，再令抛物线中y＝0，可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另一交点的坐标．【解答】解：根据题意得，5﹣m﹣10＝0，所以m＝﹣；得抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣10，∵x2﹣x﹣10＝0，解得x1＝﹣，x2＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（2，0）．17．如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光．（1）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于；（2）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．【分析】（1）根据概率公式直接填即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【解答】解：（1）有4个开关，只有D开关一个闭合小灯发亮，所以任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率是；（2）画树状图如图：结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，小灯泡发光的概率是．18．如图，每个正方形由边长为1的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数 4 8 12 16 …2n正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数 1 5 9 13 …2n﹣1（2）在边长为n（n≥1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在奇数n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）此题找规律时，显然应分两种情况分析：当n是奇数时，黑色小正方形的个数是对应的奇数；当n是偶数时，黑色小正方形的个数是对应的偶数．（2）分别表示偶数时P1和P2的值，然后列方程求解，进行分析．【解答】解：（1）4，8，12，16，…，则（偶数）2n．1，5，9，13，…，则（奇数）2n﹣1；故答案是：正方形边长 2 4 6 8 …n（偶数）黑色小正方形个数 4 8 12 16 …2n正方形边长 1 3 5 7 …n（奇数）黑色小正方形个数 1 5 9 13 …2n﹣1（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，白色与黑色的总数为n2，∴P2＝n2﹣2n，根据题意假设存在，则n2﹣2n＝5×2n，n2﹣12n＝0，解得n＝12，n＝0（不合题意舍去）．存在偶数n＝12使得P2＝5P1．19．如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，顶点坐标为（1，﹣4）（1）求二次函数解析式；（2）该二次函数图象上是否存在点M，使S△MAB＝S△CAB，若存在，求出点M的坐标．【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），可以求得a、b的值，从而可以得到该函数的解析式；（2）根据（1）中求得的函数解析式可以得到点C的坐标，再根据S△MAB＝S△CAB，即可得到点M的纵坐标的绝对值等于点C的纵坐标的绝对值，从而可以求得点M的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点坐标为（1，﹣4），∴，得，∴该函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）该二次函数图象上存在点M，使S△MAB＝S△CAB，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），∴当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1，∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A、B与y轴交于点C，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3），∵S△MAB＝S△CAB，点M在抛物线上，∴点M的纵坐标是3或﹣3，当y＝3时，3＝x2﹣2x﹣3，得x1＝1+，x2＝1﹣；当y＝﹣3时，﹣3＝x2﹣2x﹣3，得x3＝0或x4＝2；∴点M的坐标为（1+，3），（1﹣，3）或（2，﹣3）．20．已知，如图在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，过D作DE⊥BD交AB 于E，经过B，D，E三点作⊙O．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若AD＝15，AE＝9，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，则有∠1＝∠2，而∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，因此OD∥BC，又由于∠C＝90°，所以OD⊥AD，即可得出结论．（2）根据OD⊥AD，则在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r，AD＝15，AE＝9，得到（r+9）2＝152+r2，解方程即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵OD＝OB，∴∠1＝∠2，又∵BD平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴OD∥BC，而∠C＝90°，∴OD⊥AD，∴AC与⊙O相切于D点；（2）解：∵OD⊥AD，∴在RT△OAD中，OA2＝OD2+AD2，又∵AD＝15，AE＝9，设半径为r，∴（r+9）2＝152+r2，解方程得，r＝8，即⊙O的半径为8．21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为π；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积＝S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积＝S扇形B1OB，然后计算即可得解．△AOB【解答】解：（1）△A1OB1如图所示；（2）由勾股定理得，BO＝＝，所以，点B所经过的路径长＝＝π；故答案为：π．（3）由勾股定理得，OA＝＝，∵AB所扫过的面积＝S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，BO扫过的面积＝S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和＝S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，＝S扇形A1OA，＝，＝π．22．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．时间（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90当天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大值是多少？（3）共有多少天日销售利润不低于4800元？【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝﹣2×452+180×45+2000＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y＝﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．23．如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系AF＝AE；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．【分析】（1）如图①中，结论：AF＝AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF＝AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF＝AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．【解答】解：（1）如图①中，结论：AF＝AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，∵DE＝EC，∴AE＝EF，∵∠DEC＝∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE．故答案为AF＝AE．（2）如图②中，结论：AF＝AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE＝∠ABC＝45°，∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EKF＝∠ADE，∵∠DKC＝∠C，∴DK＝DC，∵DF＝AB＝AC，∴KF＝AD，在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA，∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，∴∠FEA＝∠BED＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE．（3）如图③中，结论不变，AF＝AE．理由：连接EF，延长FD交AC于K．∵∠EDF＝180°﹣∠KDC﹣∠EDC＝135°﹣∠KDC，∠ACE＝（90°﹣∠KDC）+∠DCE＝135°﹣∠KDC，∴∠EDF＝∠ACE，∵DF＝AB，AB＝AC，∴DF＝AC在△EDF和△ECA中，，∴△EDF≌△ECA，∴EF＝EA，∠FED＝∠AEC，∴∠FEA＝∠DEC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE．。