2019-2020学年安徽省合肥市庐江县高二上学期期末检测数学（文）试题一、单选题1．已知命题“若p ，则q ”是真命题，则下列命题中一定是真命题的是（ ） A ．若q ，则p B ．若q ⌝，则p ⌝C ．若p ⌝，则q ⌝D ．若p ⌝，则q【答案】B【解析】根据逆否命题的等价性即可进行判断. 【详解】命题“若p ，则q ”是真命题，则根据逆否命题的等价性可知：命题“若q ⌝，则p ⌝”是真命题. 故选：B. 【点睛】本题主要考查四种命题之间的关系的应用，根据逆否命题的等价性是解决本题的关键，属于基础题.2．若双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线方程为22y x =±，则其离心率为（ ） A 3B 23C ．2D 6【答案】D【解析】由双曲线的渐近线方程求得a 和b 的关系，再由离心率公式即可得到结论. 【详解】由题意，双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的渐近线方程为22y x =±，可得：22b a =，即2a b =， 所以，双曲线的离心率为：2222222622c a b b b e a a b ++====.故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质：渐近线，离心率，考查计算能力，属于基础题.3．已知,a b ∈R ，直线210ax y +-=与直线()1210a x ay +-+=垂直，则a 的值为（ ） A ．3-B ．3C ．0或3D ．0或3-【答案】C【解析】根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，它们的斜率之积等于1-，列方程解得即可. 【详解】直线210ax y +-=与直线()1210a x ay +-+=垂直， 当0a =时，直线210y -=和10x +=垂直，符合题意； 当0a ≠时，它们的斜率之积等于1-，即1122a a a+-⋅=-，解得3a =； 综上，两直线垂直时，a 的值为0或3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1-，注意直线斜率不存在的情况，属于基础题. 4．设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列结论错误的是（ ） A ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥ B ．若//,m n m α⊥，则n α⊥ C ．若//,m ααβ⊥，则m β⊥D ．若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥【答案】C【解析】根据线线，线面平行与垂直的关系，对各选项逐一判断即可. 【详解】由,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 在A 中，若,//m n αα⊥，则m n ⊥，故A 正确； 在B 中，若//,m n m α⊥，则n α⊥，故B 正确； 在C 中，若//,m ααβ⊥，则m β⊥或//m β或m β⊂或m 与平面β相交，故C 错误；在D 中，若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥，故D 正确； 故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，属于基础题． 5．直线cos 40x y α--=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[)0,pB ．0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭UC ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π D ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】D【解析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率解析式，设出倾斜角，通过斜率的取值范围得到倾斜角的范围. 【详解】直线cos 40x y α--=，即cos 4y x α=-，斜率为cos k α=，α∈R ， 因1cos 1α-≤≤，设直线的倾斜角为θ，则0θπ≤<，1tan 1θ-≤≤， 所以30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题.6．“410k <<”是“方程221410x y k k+=--表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】由方程221410x y k k+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则1040k k ->->，解得47k <<，所以，“410k <<”是“方程221410x y k k+=--表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查充分必要条件，属于基础题.7．如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其 中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不 正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化的快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断． 【详解】A 、因正方体的底面积是定值，故水面高度的增加是均匀的，即图象是直线型的，故A 不对；B 、因几何体下面窄上面宽，且相同的时间内注入的水量相同，所以下面的高度增加的快，上面增加的慢，即图象应越来越平缓，故B 正确；C 、球是个对称的几何体，下半球因下面窄上面宽，所以水的高度增加的越来越慢；上半球恰相反，所以水的高度增加的越来越快，则图象先平缓再变陡；故C 正确；D 、图中几何体两头宽、中间窄，所以水的高度增加的越来越慢后再越来越慢快，则图象先平缓再变陡，故D 正确． 故选A ． 【点睛】本题考查了数形结合思想，对于此题没有必要求容器中水面的高度h 和时间t 之间的函数解析式，因此可结合几何体和图象作定性分析，即充分利用数形结合思想．8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，则异面直线1D E 与DC 所成的角的余弦值是（ ） A ．13B ．1010C ．105D ．23【答案】A【解析】作出图象，将异面直线1D E 与DC 所成的角转化为解1D EB ∆，即可得到结论. 【详解】 由题意，如图，令正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，在正方体1111ABCD A B C D -中，知异面直线1D E 与DC 所成的角，即为直线1D E 与直线AB 所成的角，在1D EB ∆中，13D E =，1EB =，123D B =，由余弦定理得，222111191121cos 22313D E EB D B D EB D E EB +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以直线1D E 与直线AB 所成的角余弦值为13， 即异面直线1D E 与DC 所成的角的余弦值为13.故选：A. 【点睛】本题考查异面直线所成的角的余弦值，考查空间能力，计算能力，属于基础题. 9．已知函数3()(,)f x ax bx a b R =+∈的图象如图所示，则,a b 的关系是（ ）A ．30a b -=B ．30a b +=C ．30a b -=D ．30a b +=【答案】B【解析】根据函数导数和极值之间的关系，求出对应a ，b 的关系，即可得到结论. 【详解】由函数图象知，1x =为函数的极大值点，1x =-为函数的极小值点， 即1，1-是()0f x '=的两个根，又()23f x ax b '=+，所以30a b +=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力，属于基础题． 10．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．11．给出下列说法：①方程222480x y x y +-++=表示一个圆；②若0m n >>，则方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆；③已知点()()1,0,1,0M N -，若2PM PN -=，则动点P 的轨迹是双曲线的右支； ④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切， 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】根据题意，依次分析题目中的四个命题，综合即可得答案. 【详解】 根据题意，对于①，方程222480x y x y +-++=变形为()()22123x y -++=-，不是圆的方程，故①错误；对于②，方程221mx ny +=变形为22111x y m n+=，若0m n >>，则有110n m>>，则方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故②错误；对于③，点()()1,0,1,0M N -，则2MN =，若2PM PN -=，则动点P 的轨迹是一条射线（以N 为端点向右的射线），故③错误；对于④，由抛物线的定义，以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切，故④正确. 综上，正确说法的个数为1个. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程，注意常见圆锥曲线的定义与方程的形式，属于基础题. 12．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与曲线和曲线均相切，切点分别为A 、B 两点，则两切点AB 间的长为（ ） A ．B ．C ．.D ．【答案】D 【解析】设切点，利用导数求得切线斜率，可得切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径可得的值，由切线长定理可得结果. 【详解】 设切点，切点在曲线上，，，以为切点的切线的斜率为， 直线的方程为，即，直线与曲线（以原点为圆心，以1为半径的半圆）相切，，或（舍），，，所以切点坐标为，由切线长定理可得，，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及点到直线距离公式，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.二、填空题13．命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++≤，写出命题p 的否定：_______________【答案】x R ∀∈，2220x x ++>【解析】特称命题改为全称命题，把“0x ”改为“x ”，“存在”改为“所有”，再否定结论. 【详解】命题p 是特称命题，它的否定是全称命题， 所以命题p 的否定为：x R ∀∈，2220x x ++>【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.14．圆221:1O x y +=与圆222:222230O x y x y +--+=的位置关系是__________.【答案】外切【解析】直接写出圆心坐标与半径，再计算圆心距，即可得到位置关系. 【详解】圆221:1O x y +=，其圆心()10,0O ，半径11r =，圆222:222230O x y x y +--+=，其圆心22,2O ，半径21r =，所以12222O O =+=，12112r r +=+=，即1212OO r r =+， 故两圆的位置关系为外切. 故答案为：外切. 【点睛】本题考查两圆的位置关系，属于基础题.15．棱长为a 的正方体的外接球与内切球的体积比为__________. 【答案】33【解析】确定棱长为a 的正方体的外接球与内切球的半径，即可求得棱长为a 的正方体的外接球与内切球的体积之比. 【详解】棱长为a 的正方体的外接球的直径为正方体的体对角线，即外接球的半径为32a ， 棱长为a 的正方体的内切球的半径为2a ， 所以，外接球与内切球的体积之比为33. 故答案为：33【点睛】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，属于基础题.16．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的奇函数，且(1)0f =.若0x <时，'()()0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．【答案】(,1)(0,1)-∞-U【解析】分析：构造函数()()f x g x x=，由()g x 的单调性结合()f x 的奇偶性可得解． 详解：设()()f x g x x =，则2'()()'()xf x f x g x x-=，当0x <时，由已知得'()0g x >，()g x 为增函数，由()f x 为奇函数得(1)(1)0f f -=-=，即(1)0g -=，∴当1x <-时()()0f x g x x=<，()0f x >，当10x -<<时，()()0f x g x x=>，()0f x <，又()f x 是奇函数，∴当01x <<时，()0f x >，1x >时，()0f x <．∴不等式()0f x >的解集为(,1)(0,1)-∞-U ． 故答案为(,1)(0,1)-∞-U ．点睛：本题考查考查用导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，注意根据已知导数不等式构造新函数，常见的新函数有()()g x xf x =，()()f x g x x =，()()xg x e f x =，()()x f x g x e=．三、解答题17．已知p ：方程22122x y tt+=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；:q 实数t 满足不等式1t a -<<，1a >-.（1）若p 为真，求实数t 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()2,0-（2）(]1,0-【解析】（1）根据题意列出不等式组解得即可； （2）根据题意列出不等式解得即可.【详解】（1）因为方程22122x y t t +=-+所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，所以202022t t t t ->⎧⎪+>⎨⎪->+⎩，解得：20t -<<，所以，实数t 的取值范围为()2,0-.（2）因为命题:q 实数t 满足不等式1,1t a a -<<>-若p 是q 的必要不充分条件，所以()1,(2,0),1a a ≠-⊂->-，即10a -<≤， 故实数a 的取值范围为(]1,0-. 【点睛】本题考查命题的真假，考查充分必要条件，属于基础题.18．如图，四边形ABCD 为正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD .（1）证明：平面//ABF 平面DCE ； （2）证明：AC ⊥平面EDB .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先证明//AF 平面DCE ，//AB 平面DCE ，进而可得结论； （2）先证明平面BDE ⊥平面ABCD ，再由面面垂直得线面垂直，即可得到结论. 【详解】（1）因为DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ， 所以//DE AF ，所以//AF 平面DCE ，因为ABCD 为正方形，//AB CD ，所以//AB 平面DCE ， 因为AB AF A =I ，AB Ì平面ABF ，AF ⊂平面ABF ， 所以平面//ABF 平面DCE .（2）由DE ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面PDE ， 得：平面BDE ⊥平面ABCD ，又AC BD ⊥，平面BDE ⋂平面ABCD BD =，所以AC ⊥平面EDB . 【点睛】本题考查了面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，线面垂直，考查空间思维能力，属于基础题.19．已知圆C ：（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝4（a ＞0）及直线l ：x ﹣y +3＝0．当直线l 被圆C 截得的弦长为2时，求（Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C 相切的切线方程． 【答案】（Ⅰ）a ＝1；（Ⅱ）5x ﹣12y +45＝0或x ＝3．【解析】（Ⅰ）根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l 的距离d ，然后根据垂径定理得到弦心距，弦的一半及圆的半径成直角三角形，利用勾股对了列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值，然后由a 大于0，得到满足题意a 的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出a 的值代入圆的方程中确定出圆的方程，即可得到圆心的坐标，并判断得到已知点在圆外，分两种情况：当切线的斜率不存在时，得到x ＝3为圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，由（3，5）和设出的k 写出切线的方程，根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，让d 等于圆的半径即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，把k 的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程．综上，得到所有满足题意的切线的方程． 【详解】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C （a ，2），半径r ＝2， 则圆心到直线l ：x ﹣y +3＝0的距离()22231211a a d -++==+-，由勾股定理可知22222d r +=，代入化简得|a +1|＝2， 解得a ＝1或a ＝﹣3， 又a ＞0，所以a ＝1；（Ⅱ）由（1）知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r ＝2 由（3，54913+=＞r ＝2，得到（3，5）在圆外， ∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y ﹣5＝k （x ﹣3） 由圆心到切线的距离d 2231k k -+==+r ＝2，化简得：12k ＝5，可解得512k =， ∴切线方程为5x ﹣12y +45＝0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x ＝3与圆相切．由①②可知切线方程为5x ﹣12y +45＝0或x ＝3． 【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用垂径定理及勾股定理化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题20．某商场的销售部经过市场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得5x =时，11y =，代入函数解析式可得a 的值；（Ⅱ） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（Ⅰ）因为5x =时，11y =，所以10112a+=，故2a = （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量()221063y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润为()()()221036f x x x =+--从而()()()3064f x x x -'=-于是，当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：由上表可得，4x =是函数()f x 在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点. 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.21．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD .1,902AB BC AD BAD ABC ︒==∠=∠=.（1）证明：直线//BC 平面PAD ；（2）若PAB ∆的面积为4，求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】（1）由题意可得//BC AD ，进而可得//BC 平面PAD ；（2）由PAB ∆的面积为4，可计算得23PO =P ABCD -的体积. 【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中，90BAD ABC ︒∠=∠=Q ，所以//BC AD ，因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以//BC 平面PAD . （2）由1,902AB BC AD BAD ABC ︒==∠=∠=， 设2AD x =，则,2AB BC x PA x ===， 设O 是AD 的中点，连接,PO OC 由侧面PAD 为等边三角形，则3PO x =，且PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD I 底面ABCD AD =， 所以PO ⊥平面ABCD ，又AB Ì平面ABCD ，且AB AD ⊥， 因为AB ⊥底面ABCD ，所以AB PA ⊥， 又PAB ∆面积为4，可得1242x x ⋅=， 解得2x =，则23PO = 则11()32P ABCD V BC AD AB PO -=⨯+⨯⨯ 11(24)2234332=⨯⨯+⨯⨯= 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题.22．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的离心率2e=，且过点23(,)．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，过椭圆C的右焦点F作两条相互垂直的直线,AB DE交椭圆分别于,,,A B D E，且满足12AM AB=u u u u v u u u v，12DN DE=u u u v u u u v，求MNF∆面积的最大值．【答案】（1）2212xy+=；（2）19.【解析】【详解】（1）根据条件有22222{13124a ba b=+=，解得222,1a b==，所以椭圆22:12xC y+=．（2）根据12AM AB=u u u u r u u u r，12CN CD=u u u r u u u r可知，,M N分别为,AB DE的中点，且直线,AB DE斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x yB x y，直线AB的方程为1x my=+，不妨设0m>，联立椭圆C有()222210m y my++-=，根据韦达定理得：12222my ym+=-+，()12122422x x m y ym+=++=+，222,22mMm m-⎛⎫⎪++⎝⎭，21m mMF+=，同理可得211112m mNFm⎛⎫--+⎪⎝⎭=⎛⎫-+⎪⎝⎭，所以MNF∆面积2112142MNFmmS MF NFmm∆+==⎛⎫++⎪⎝⎭，现令12t mm=+≥，那么21124294MNFtSt tt∆==≤++，所以当2t=，1m=时，MNF∆的面积取得最大值19．。