17、概率17.2 古典概型与几何概型【知识网络】1. 理解古典概型,掌握古典概型的概率计算公式;会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
2. 了解随机数的概念和意义,了解用模拟方法估计概率的思想;了解几何概型的基本概念、特点和意义;了解测度的简单含义;理解几何概型的概率计算公式,并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。
【典型例题】[例1](1)如图所示,在两个圆盘中,指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 ( )A .49B .29C .23D .13(2)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ,则1log 2 Y X 的概率为 ( )A .61B .365 C .121 D .21 (3)在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为()A .56B .12C .13D .16(4)向面积为S 的△ABC 内任投一点P ,则随机事件“△PBC 的面积小于3S”的概率为 .(5)任意投掷两枚骰子,出现点数相同的概率为 .[例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0,其中m ,n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,试求方程有实根的概率。
[例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面,并约定先到者应等候另一个人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.[例4]抛掷骰子,是大家非常熟悉的日常游戏了.某公司决定以此玩抛掷(两颗)骰子的游戏,来搞一个大型的促销活动——“轻轻松松抛骰子,欢欢乐乐拿礼券”.方案1:总点数是几就送礼券几十元.方案2:总点数为中间数7时的礼券最多,为120元;以此为基准,总点数每减少或增加1,礼券减少20元.方案3 总点数为2和12时的礼券最多,都为120元;点数从2到7递增或从12到7递减时,礼券都依次减少20元.如果你是该公司老总,你准备怎样去选择促销方案?请你对以上三种方案给出裁决.【课内练习】1. 某班共有6个数学研究性学习小组,本学期初有其它班的3名同学准备加入到这6个小组中去,则这3名同学恰好有2人安排在同一个小组的概率是 ()A .15 B .524C .1081D .512 2. 盒中有1个红球和9个白球,它们除颜色不同外,其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球,设第1个人摸出的1个球是红球的概率为P 1,第8个人摸出红球的概率是P 8,则()A .P 8=18P 1B .P 8=45P 1 C .P 8=P 1 D .P 8=0 3. 如图,A 、B 、C 、D 、E 、F 是圆O 的六个等分点,则转盘指针不落在阴影部分的概率为( )A .12 B .13C .23D .144. 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子,并在绳子上挂一彩珠,则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为()A .12B .13C .14D .235. 一次有奖销售中,购满100元商品得1张奖卷,多购多得.每1000张卷为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖5个,二等奖100个.则任摸一张奖卷中奖的概率为 .6. 某学生做两道选择题,已知每道题均有4个选项,其中有且只有一个正确答案,该学生随意填写两个答案,则两个答案都选错的概率为 . 7. 在圆心角为150°的扇形AOB 中,过圆心O 作射线交AB 于P ,则同时满足:∠AOP ≥45°且∠BOP ≥75°的概率为 .8. 某招呼站,每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车.某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车顺序.为了尽可能乘上上等车,他将采取如下决策:先放过第一辆,如果第二辆比第一辆好则上第二辆,否则上第三辆.(1)共有多少个基本事件?(2)小曹能乘上上等车的概率为多少?9.设A 为圆周上一定点,在圆周上等可能的任取一点P 与A 连结,第3题图倍的概率.10.正面体ABCD的体积为V,P是正四面体ABCD的内部的点.①设“V P-ABC≥14V”的事件为X,求概率P(X);②设“V P-ABC≥14V且V P-BCD≥14V”的事件为Y,求概率P(Y).17、概率17.2 古典概型与几何概型A 组1. 取一个正方形及其它的外接圆,随机向圆内抛一粒豆子,则豆子落入正方形外的概率为 ( )A .2π B .2ππ- C D .4π2. 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位,乙正好坐中间的概率为 ( )A .12B .13C .14D .163. 已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)及内部面积为S=πab ,A 1,A 2是长轴的两个顶点,B 1,B 2是短轴的两个顶点,点P 是椭圆及内部的点,下列命题正确的个数是 ( ) ①△PA 1A 2为钝角三角形的概率为1; ②△PB 1B 2为直角三角形的概率为0;③△PB 1B 2为钝角三角形的概率为ba ;④△PA 1A 2为钝角三角形的概率为ba ;⑤△PB 1B 2为锐角三角形的概率为a ba-。
A .1B 。
2C 。
3D 。
44. 古典概型与几何概型的相同点是 ,不同点是基本事件的 .5. 连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.其中“恰有两枚正面向上”的事件包含 个等可能基本事件.6. 任取一正整数,求该数的平方的末位数是1的概率.7. 如图,在圆心角为90°的扇形中,以圆心O 为起点作射线OC ,求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.8. 如图,在等腰三角形ABC 中,∠B =∠C =30°,求下列事件的概率:问题1 在底边BC 上任取一点P ,使BP <AB ; 问题2 在∠BAC 的内部任作射线AP 交线段BC 于P ,使BP <AB .17、概率17.2 古典概型与几何概型B 组1. 在20瓶饮料中,有2瓶过了保质期,从中任取1瓶,恰好为过期饮料的概率为 ( )A .12 B 。
110 C 。
120 D 。
1402. 一个罐子里有6只红球,5只绿球,8只蓝球和3只黄球。
从中取出一只球,则取出红球的概率为 ( )A .122B 。
522C 。
311D 。
6113. 已知O (0,0),A (30,0),B (30,30),C (0,30),E (12,0),F (30,18),P(18,30),Q (0,12),在正方形OABC 内任意取一点,该点在六边形OEFBPQ 内的概率为 ( )A .425B 。
2125C 。
725D 。
16254. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为P 点的坐标,则点P 落在圆x 2+y 2=16A CPB第8题A第7题 OE D CB内的概率是_________.5.在所有的两位数(10~99)中,任取一个数,则这个数能被2或3整除的概率是.6.在△AOB中,∠AOB=60°,OA=2,OB=5,在线段OB上任取一点C。
试分别求下列事件的概率:①△AOC为钝角三角形;②△AOC为锐角三角形;③△AOC为锐角三角形。
7.在区间[-1,1]上任取两实数a、b,求二次方程x2+2ax+b2=0的两根都为实数的概率.8.一海豚在水池中自由游弋.水池为长30m,宽20m的长方形,随机事件A记为“海豚嘴尖离岸边不超过2m”.(1)试设计一个算法(用伪代码表示),使得计算机能模拟这个试验,并估算出事件A发生的概率;(2)求P(A)的准确值.参考答案17.2 古典概型与几何概型【典型例题】 [例1](1)A 。
(2)C .提示:总事件数为36种。
而满足条件的(x ,y)为(1,2),(2,4),(3,6),共3种情形。
(3)D .提示:M 只能在中间6cm~9cm 之间选取,而这是一个几何概型。
(4)作△ABC 的边BC 上的高AD ,取E ∈AD 且ED=13AD ,过E 作直线MN ∥BC 分别交AB 于M ,AC 于N ,则当P 落在梯形BCNM 内时,△PBC 的面积小于△ABC 的面积的13,故P=59BCNM ABCS S ∆=梯形. (5)16。
提示:总事件数为6×6=36种,相同点数的有6种情形。
[例2]由方程有实根知:m 2≥4n .由于n ∈N *,故2≤m ≤6.骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑,共有6×6=36种情形.其中满足条件的有: ①m=2,n 只能取1,计1种情形; ②m=3,n 可取1或2,计2种情形; ③m=4,n 可取1或2、3、4,计4种情形;④m=5或6,n 均可取1至6的值,共计2×6=12种情形.故满足条件的情形共有1+2+4+12=19(种),答案为1936. [例3]以x 和y 分别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够会面的条件是15x y -≤.在平面上建立直角坐标系如图7,则(x ,y)的所有基本事件可以看作是边长为60的正方形,而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示.故P(两人能会面) 167604560222=-=. 答 两人能会面的概率为716. [例4]由图可知,等可能基本事件总数为36种.其中点数和为2的基本事件数为1个,点数和为3的基本事件数为2个,点数和为4的基本事件数为3个,点数和为5的基本事件数为4个,点数和为6的基本事件数为5个,点数和为7的基本事件数的和为6个,点数和为8的基本事件数为5个,点数和为9的基本事件数为4个,点数和为10的基本事件数为3个,点数和为11的基本事件数为2个,点数和为12的基本事件数为1个.根据古典概型的概率计算公式易得下表:由概率可知,当点数和位于中间(指在7的附近)时,概率最大,作为追求最大效益与利润的老总,当然不能选择方案2,也不宜选择方案1,最好选择方案3.另外,选择方案3,还有最大的一个优点那就是,它可造成视觉上与心理上的满足,顾客会认为最高奖(120元)可有两次机会,即点数和为2与12,中次最高奖(100元)也有两次机会,所以该方案是最可行的,事实上也一定是最促销的方案.我们还可以从计算加以说明.三个方案中,均以抛掷36次为例加以计算(这是理论平均值):从表清楚地看出,方案3所需的礼券额最少,对老总来说是应优先考虑的决策.【课内练习】1. D 。
3个人加入6个小组中有36种方法。
3人中恰有2人在同一小组的,于是只须加入两个小组,共有652⨯=15种选择,而3人的分组又有6种情形,故答案为156521612⨯=。
2. C 。
提示:虽然摸球的顺序有先后,但只需不让后摸的人知道先摸人摸出的结果,那么各个摸球者摸到红球的概率都是相等的,并不因摸球的顺序不同而影响到其公平性.∴P 8=P 1。