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指数函数和复合函数

2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数一、指数与对数运算: (一)知识归纳: 1.根式的概念:①定义:若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且,则这个数称a 的n 次方根.即,若a x n =,则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且,1)当n 为奇数时,n a 的次方根记作n a ;2)当n 为偶数时,负数a 没有n 次方根,而正数a 有两个n 次方根且互为相反数,记作)0(>±a a n .②性质:1)a a n n =)(; 2)当n 为奇数时,a a n n =; 3)当n 为偶数时,⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n2.幂的有关概念:①规定:1)∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *, 2))0(10≠=a a , n 个 3)∈=-p aap p(1Q ,4)m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质:1)r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ), 2)r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ), 3)∈>>⋅=⋅r b a b a b a rr r ,0,0()( Q ) (注)上述性质对r 、∈s R 均适用.3.对数的概念:①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b=,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数. 1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ,2)以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数,N e log 记作N ln②基本性质:1)真数N 为正数(负数和零无对数), 2)01log =a , 3)1log =a a , 4)对数恒等式:N aNa =log③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1)N M MN a a a log log )(log +=; 2)N M NMa a alog log log -=; 3)∈=n M n M a n a (log log R ). ④换底公式:),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1)1log log =⋅a b b a , 2).log log b mnb a na m = (二)学习要点:1.b N N a a N a b n ===log ,,(其中1,0,0≠>>a a N )是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底.2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题: (1)计算:25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷⨯÷+--- [解析]原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(÷⨯÷+-922)2917(21]1024251253794[=⨯+-=÷⨯⨯+-=(2)计算1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅.[解析]分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2=++=++;分母=41006lg 26lg 101100036lg)26(lg =-+=⨯-+; ∴原式=43.(3)化简:.)2(2485332332323323134aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--[解析]原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(a a a a ab a b b a a b a a ⋅⋅⨯-÷+⋅+- 23231616531313131312)2(a a a a aa ba ab a a =⨯⨯=⨯-⨯-=.(4)已知:36log ,518,9log 3018求==b a 值. [解析],5log ,51818b b =∴=ab a b -+-=-+-+=++=∴22)2(2)3log 18(log )9log 18(log 16log 5log 2log 18log 36log 181818181818181830. [评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题:(1)已知1log 2log log ≠=+x x x x b c a 且, 求证:ba ac c log 2)(=[解析]0log ,1,log log 2log log log ≠∴≠=+x x bxc x x a a a a a a ,2log log )1(log log 2log 2log 11c b c c bc a a a a a a ⇒+=⇒=+∴=b ba a a a a ac c acb ac log 2log )()(log log )(log =⇒=⋅(2)若0lg lg )][lg(lg lg lg lg lg lg 2=-++++yx y x y y x x y x ,求)(log 2xy 的值.[解析]去分母得0)][lg()lg (lg 22=-++y x y x⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=+∴110)lg(0lg lg y x xy y x y x , x ∴、y -是二次方程012=--t t 的两实根,且y x y x y x >≠≠>>,1,1,0,0,解得251±=t , 0)(log ,215,215,02=+∴-=+=∴>y x y x x [评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题,这种问题更接近考试题的形式,应多从这种练习中积累经验. 二、指数函数与对数函数(一)学习要点: 1.指数函数:①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数, 1)函数的定义域为R , 2)函数的值域为),0(+∞,3)当10<<a 时函数为减函数,当1>a 时函数为增函数.②函数图像: 1)指数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、二象限,2)指数函数都以x 轴为渐近线(当10<<a 时,图象向左无限接近x 轴,当1>a 时,图象向右无限接近x 轴),3)对于相同的)1,0(≠>a a a 且,函数xxa y a y -==与的图象关于y 轴对称.③函数值的变化特征:2.对数函数:①定义:函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数, 10<<a1>a①100<<>y x 时, ②10==y x 时,③10><y x 时 ①10>>y x 时, ②10==y x 时,③100<<<y x 时,1)函数的定义域为),0(+∞, 2)函数的值域为R , 3)当10<<a 时函数为减函数,当1>a 时函数为增函数,4)对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. ②1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限,2)对数函数都以y 轴为渐近线(当10<<a 时,图象向上无限接近y 轴;当1>a 时,图象向下无限接近y 轴).4)对于相同的)1,0(≠>a a a 且,函数x y x y aa1log log ==与的图象关于x 轴对称.③函数值的变化特征:(二)学习要点:1.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识.2.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力.【例1】已知11log )(--=x mxx f a 是奇函数 (其中)1,0≠>a a , (1)求m 的值;(2)讨论)(x f 的单调性; (3)求)(x f 的反函数)(1x f-;10<<a 1>a ①01<>y x 时, ②01==y x 时, ③010><<y x 时. ①01>>y x 时, ②01==y x 时, ③100<<<y x 时.(4)当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时,)(x f 的值域为),1(+∞,求a 的值.[解析](1)011log 11log 11log )()(222=--=--+--+=+-xx m x mx x mx x f x f a a a对定义域内的任意x 恒成立,10)1(11122222±=⇒=-⇒=--∴m x m xx m , 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数,1-=∴m , (2)∴-+=,11log )(x x x f a 定义域为),1()1,(+∞--∞ , 求导得e x x f a log 12)(2--=', ①当1>a 时,)(,0)(x f x f ∴<'在),1()1,(+∞--∞与上都是减函数; ②当10<<a 时,),1()1,()(,0)(+∞--∞∴>'与在x f x f 上都是增函数; (另解)设11)(-+=x x x g ,任取111221>>-<<x x x x 或, 0)1)(1()(21111)()(2112112212<----=-+--+=-∴x x x x x x x x x g x g , )()(12x g x g <∴,结论同上;(3)111)1(1111log -+=⇒+=-⇒-+=⇒-+=y y yy y a a a x a x a x x a x x y , )10,0(11)(,0,011≠>≠-+=∴≠∴≠--a a x a a x f y a x x y且(4))2,1()(,3,21->∴-<<a x f a a x 在 上为减函数,∴命题等价于1)2(=-a f ,即014131log 2=+-⇒=--a a a a a, 解得32+=a .[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各种常见的基本问题,熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练,要认真总结经验.【例2】对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ,解答下述问题:(1)若函数的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若函数的值域为R ,求实数a 的取值范围;(3)若函数在),1[+∞-内有意义,求实数a 的取值范围; (4)若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ,求实数a 的值; (5)若函数的值域为]1,(--∞,求实数a 的值; (6)若函数在]1,(-∞内为增函数,求实数a 的取值范围. [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==,(1)R x u ∈>对0 恒成立,33032min <<-⇒>-=∴a a u ,a ∴ 的取值范围是)3,3(-;(2)这是一个较难理解的问题。

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