当前位置:文档之家› 专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳

专题05 指数与指数函数及其复合函数题型归纳

专题05 指数与指数函数及其复合函数综合问题一、学法指导与考点梳理重难点一 根式(1)概念:式子na 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数.(2)性质:(na )n=a (a 使na 有意义);当n 为奇数时,n a n =a ,当n 为偶数时,na n =|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≥0,-a ,a <0. 重难点二 分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1);正数的负分数指数幂的意义是a -mn =1n a m(a >0,m ,n ∈N *,且n >1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:a r a s =a r +s ;(a r )s =a rs ;(ab )r =a r b r ,其中a >0,b >0,r ,s ∈Q. 重难点三 指数函数及其性质(1)概念:函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数,其中指数x 是自变量,函数的定义域是R ,a 是底数.(2)指数函数的图象与性质二、重难点题型突破重难点突破1 指数与指数幂运算1.a a nn =)(;2.⎩⎨⎧<-≥==0.0,||a a a a a a n n3.正分数指数幂:规定:a mn =a >0,m ,n ∈N *,且n >1) 4.负分数指数幂:规定:a -m n =1a m n =1(a >0,m ,n ∈N *,且n >1)5.幂的运算性质(1)s r a a =s r a +a (>0,r ,s ∈Q );(2)sr a )(=rs a a (>0,r ,s ∈Q ); (3)rab )(=rr b a a (>0,r ,s ∈Q ).例1-1.(1)下列关系式中,根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56a a -=-B .24x =C .332b =D .52()a b --=【解析】对于A 0a ,而当0a <时,56a 无意义,故A 错误;对于B ,当0x <时,24x =B 错误;对于C ,31332224()b b ==,故C 错误.对于D ,52()a b --===D 正确.故选:D .(2).(2019秋•凌源市月考)已知0a >( )A .712aB .512a C .56a D .13a【解析】原式1151532622212a a a aa ⨯====.故选:B .(3).2019秋•鸠江区校级期中)(121xy xy -;(21327()8--++【变式训练1】 计算:(2020·成都七中万达学校高一月考)1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭=_____________.【解析】由幂的运算法则及根式意义可知,1163471.586-⎛⎫⨯-+- ⎪⎝⎭111131-233333443222=+22+23-=24272333()()()()⨯⨯++⨯-110= ,故填110. 【变式训练2】(2019·四川成都市·石室中学高一月考)(1)化简()3212332140.1a b--⎛⎫⋅⎪⎝⎭(2)2019·四川成都市·成都外国语学校)(2)13231442--⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (1)1323122214446212--⎛⎛⎫++⨯- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=【详解】(1)原式()311223322333321222221181161620010100a b a b a ba b ------⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅=⋅=⋅; (2)132312221444621--⎛⎛⎫++⨯ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=++-=例1-2.(2019秋•越秀区校级月考)已知12x y +=,9xy =且x y <,求11221122x y x y-+的值.【解析】11221122x y x y-==+.①12x y +=,9xy =,②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=.又x y <,x y ∴-=-=.【变式训练1】(1)(2019·四川成都市·石室中学高一月考)设3312x x +=,求1x x +的值.(2)(2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中)化简求值:已知1122x x-+=,求22145x x x x --+++-的值.【解析】(1)由3312x x +=可得6312x x +=,即()2310x -=,解得1x =, 因此,1112x x+=+=. (2)因为1122x x -+=125x x -++=,即13x x -+=,所以2229x x -++=,即227x x -+=,所以221474115352x x x x --+++==-+--. 【变式训练2】(1)(2019·成都市·成都外国语高一期中)已知11223a a -+=,求332222a a a a --++值. 【解析】因为11223a a -+=,两边同时平方可得129a a -++=所以17a a -+=,由立方和公式及完全平方公式化简可得332222a a a a --++()()111222112a a a a a a ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+-()()2371184772⨯-==- (2)(2019·成都市·树德中学高一开学考试)已知232a =+11133a a a a--++的值【解析】设则, .重难点突破2 指数函数的概念例2.(2019·眉山外国语学校高一期中)函数y=(a 2–3a+3)•a x 是指数函数,则a 的值为___________.【解析】由题意得:a 2–3a+3=1,即(a–2)(a–1)=0,解得a=2或a=1(舍去),故答案为2. 【变式训练】(2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中)若函数y =(a 2-3a +3)a x 是指数函数,则( ) A a >1且a ≠1B a =1C a =1或a =2D a =2【答案】D重难点突破3 指数函数的图像例3-1.(1)(2019·眉山外国语学校高一期中)函数1(0,1)xy a a a a=->≠图像可能是( ). A .B .C .D .【解析】∵0a >,∵10a>,∵函数x y a =需向下平移1a 个单位,不过(0,1)点,所以排除A ,当1a >时,∵101a <<,所以排除B ,当01a <<时,∵11a>,所以排除C ,故选D.(2)(2020·四川成都市·成都七中高一月考)设0a >且1,a ≠则函数xy a b =+与y b ax =-在同一坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .【解析】对A ,y b ax =-中的10,01b a -<<<<,xy a b =+中的1a >,不能统一,错误; 对B ,y b ax =-中的0,1a b ><-,xy a b =+中的0,10a b >-<<,不能统一,错误;对C ,y b ax =-中的10,01b a -<<<<,xy a b =+中的10,01b a -<<<<,正确;对D ,y b ax =-中的1b <-,xy a b =+中的10b -<<,不能统一,错误;故选:C. (3)(2019·四川成都市·石室中学高一开学考试)若函数()()101xy a b a a =-+>≠且的图象经过第一、三、四象限,则有( )A .1a >,且1b <B .1a >,且0b >C .01a <<,且0b >D .01a <<,且0b <【解析】由题意,画出图象如图,由单调性可知,1a >,当0x =时,0,0y b b =-,选B.(4)(2020·成都市·成都外国语学校高一期中)函数2121xy =+-的部分图象大致为( ) A .B .C .D .【解析】令()22112121x x xf x +=+=--, 得函数的定义域为{}0x x ≠,()()21122112x xx xf f x x --++--==--=, 则()f x 为奇函数,所以排除B C ;当0,21210x xx >>⇒->,则1y >,所以排除A ;故选:D.【变式训练】(1)(2019·四川凉山彝族自治州·高一期末)已知函数()()()f x x a x b =--(其中)a b >的图象如图所示,则函数()xg x a b =+的图象是( )A .B .C .D .【解析】由函数的图象可知,10b -<<,1a >,则()xg x a b =+为增函数,(0)10g b =+>,()g x 过定点(0,1)b +,故选:C .(2)(2020·四川省武胜烈面中学校高一月考)函数xy a b =+部分图象如图所示,则( )A .01,10a b <<-<<B .01,01a b <<<<C .1,10a b >-<<D .1,01a b ><<【解析】由题,函数图象恒过点()0,1b +,由图象可得011b <+<,即10b -<<, 显然,函数单调递减,所以01a <<,故选:A(3)(2019·四川成都市·双流中学高一期中)已知a >1,则函数y =a x 与y =(a -1)x 2在同一坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .【详解】∵a >1,∵函数y =a x 为增函数,函数y =(a -1)x 2在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.故选:A .(4)(2020·成都市实验外国语学校(西区)高一期中)函数x y a = (0a >且1a ≠)与函数()212y a x x =--在同一坐标系内的图象可能是( )A .B .C .D .【解析】当1a >时,函数xy a =为增函数;函数()212y a x x =--图象的开口向上,对称轴为101x a =>-,且与y 轴的交点为(0,0),排除B . 当01a <<时,函数xy a =为减函数;函数()212y a x x =--图象的开口向下,对称轴为101x a =<-,与y 轴的交点为(0,0),排除C,D ,故A 正确.选A . 例3-2.(恒过定点问题)(2020·四川成都市·成都七中高一期中)若函数22x y a +=+(0a >,且1a ≠)的图象恒过一定点P ,则P 的坐标为( ) A .()0,1B .()2,1-C .()2,2-D .()2,3-【解析】∵当2x =-时,此时2220=1x a a a +-+==,即函数值023y a =+=,∵定点P 的坐标为()2,3-,故选:D.【变式训练】(2020·四川成都市·成都外国语学校高一期中)函数2020()2(01)x f x a a a -=+>≠,的图像必经过定点__________.【解析】令20200x -=,解得2020x =,则0()23f x a =+=,所以()f x 的图像必经过定点(2020,3),故答案为:(2020,3)重难点突破5 指数函数的定义域例5.(1)(2019·四川成都市·棠湖中学高一期末)函数y =_______.【解析】由二次根式有意义,得:420x -≥,即2242x ≤=,因为2xy =在R 上是增函数,所以,x≤2,即定义域为:(,2]-∞(2)(2020·全国高三专题练习(理))已知函数f (x )的定义域是(1,2),则函数f (2x )的定义域是( )A .(0,1)B .(2,4)C .(12,1) D .(1,2)【解析】∵f (x )的定义域是(1,2),∵1<2x <2,即20<2x <21,∵0<x <1.故选:A .【变式训练】(1)(2020·全国高一课时练习)函数()f x = )A .[0,)+∞B .[1,)+∞C .(,0]-∞D .(,1]-∞【解析】使函数有意义,需210x -≥,即为21x ≥,得0x ≥,则定义域为[0,)+∞.选:A. (2)(2020·全国高一课时练习)函数()121x f x =-的定义域是________. 【解析】由210x -≠,得0x ≠,故函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.故答案为:(,0)(0,)-∞+∞重难点突破6 指数函数的单调性与最值例6-1.(1)(2020·四川师范大学附属中学高一期中)函数23212x x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为( ) A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .(),1-∞D .()2,+∞【解析】令()232t x x x =-+,则1()2t y =,1()2ty =在t R ∈上单调递减,所以本题即求函数()t x 在定义域内的减区间.利用二次函数的性质可得函数()t x 在定义域内的减区间为3(,)2-∞,函数23212x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭的单调递增区间为:3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故选:A (2)(2020·攀枝花市第十五中学校高一期中)若函数242axxy -=在[﹣2,+∞)上为减函数,则a 的取值范围为( ) A .(﹣∞,﹣1]{0} B .[﹣1,0]C .(﹣1,0]D .[﹣1,2]【解析】当0a =,41162xxy -⎛=⎫= ⎪⎝⎭,由指数函数的单调性 可知函数在[﹣2,+∞)上为减函数,满足题意;当0a <,只需满足()24f x ax x =-在[﹣2,+∞)上为减函数,即4212a a≤-⇒≥-,即10a -≤< ,综上,[]1,0a ∈-.故选:B(3)(2020·四川师范大学附属中学高一期中)已知函数()(),01,0x e k x f x k x k x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是( ) A .112k ≤< B .112k << C .1k < D .1k ≤【解析】因为()f x 是在R 上的增函数,所以010(1)0k e k k k ->⎧⎨-≤-⨯+⎩,得112k ≤<,选:A 【变式训练】(1)(2020·内江市天立学校高一月考)已知函数20()40x a a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩,,,其中0a >,且1a ≠,若()f x 在R 上单调递减,则a 的取值范围是( ) A .103⎛⎤ ⎥⎝⎦,B .113⎡⎫⎪⎢⎣⎭, C .102⎛⎤⎥⎝⎦,D .112⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】因为函数20()40xa a x f x ax a x ⎧->=⎨-+≤⎩,,,在R 上单调递减,所以014012a a a a<<⎧⎪-<⎨⎪≥-⎩,解得113a ≤<,故选:B (2)(2020·四川泸州市·泸县五中高一月考)若函数()22313x mx f x +-⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,1-上单调递减,则实数m 的取值范围是__________.【解析】等价于223y x mx =+-在()1,1-上单调递增,对称轴4m x =-, 所以14m-≤-,得4m ≥.即实数m 的取值范围是[)4,+∞. (3)求函数221()2x xy -+=的单调区间.解:令22t x x =-+,则1()2t y =,且在R 上递减,由于22t x x =-+在(-∞,1]上递增,在[1,)+∞上递减,则由复合函数的单调性,可得 函数221()2x xy -+=的单调递减区间为(-∞,1],单调递增区间为[1,)+∞.例6-2.(1)(2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高二月考)函数221()2x xy -+=的值域是( )A .RB .1[,)2+∞ C .(2,)+∞ D .(0,)+∞【解析】令22t x x =-+,则1()2ty =,而222(1)11t x x x =-+=--+≤,所以11()22ty =≥.故选B.(2)(2020·成都市实验外国语学校(西区)高一期中)当[]1,1x ∈-时,函数()32xf x =-的值域是( )A .51,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[]1,1C .5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]0,1【解析】因为指数函数3x y =在区间[]1,1-上是增函数,所以11333x -≤≤,于是11323232x --≤-≤-即5()13f x -≤≤.故选:C . (3)(2019·四川省成都市郫都区第四中学高一月考)已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ,则a b += .【解析】若1a > ,则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+= ,此方程组无解;若01a << ,则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=- ,解得1{22a b ==- ,所以32a b +=-. (4)(2019·四川省遂宁市第二中学校高一期中)设02x ≤≤,求函数143252xx y =⋅-⨯+ 的最大值和最小值. 【解析】设2x t =,则2211135(3)(14)222y t t t t =-+=-+≤≤. ∵上述关于t 的二次函数在[1,3]上递减,在[3,4]上递增, ∵当3t =,y 取最小值12;当1t =时,即0x =时,y 取最大值52. 【变式训练】(1)(2019·泸州市·高一期中)已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,求其单调区间及值域.【解析】令13Uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭,225U x x =++,则y 是关于U 的减函数,而U 是(),1-∞-上的减函数,()1,-+∞上的增函数,∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),1-∞-上是增函数,而在()1,-+∞上是减函数,又∵()2225144U x x x =++=++≥, ∵22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为4110,0,381⎛⎤⎛⎫⎛⎤= ⎥ ⎪ ⎥ ⎝⎭⎝⎦⎥⎝⎦.(2)(2019·四川省阆中东风中学校高三月考)函数2212x x y -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域是( )A .RB .()0,∞+C .()2,+∞D .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()222111x x x -=--+≤,221111222x x -⎛⎫⎛⎫∴≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴2212x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选:D.(3)(2020·四川自贡市·高一期末)若02x ≤≤,求函数()129235x x f x -=-⨯+的最大值和最小值. 【详解】()()1221923532353x x xx f x -=-⨯+=-⨯+()()()21332023xf x x =-+≤≤,当33x =时,即1x =时取得最小值,故()()min 12f x f ==,当0x =时,10(0)3f =, 当2x =时,(2)14f = ()()(){}()max max 0,2214f x f f f ===.综上,函数()f x 最大值为14,最小值为2.(4)(2019·成都市棠湖中学高一期中)如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0,且a ≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a 的值为________. 【解析】令a x =t ,则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时,因为x ∵[-1,1],所以t ∵1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以y max =(a +1)2-2=14,解得a =3(负值舍去).当0<a <1时,因为x ∵[-1,1],所以t ∵1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,,又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14,解得a =13 (负值舍去).综上,a =3或a =13.故答案为: 3或13 重难点突破7 指数函数比大小、解不等式 例7-1.如图①,②,③,④,根据图象可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为( )A. a <b <1<c <dB. b <a <1<d <cC. 1<a <b <c <dD. a <b <1<d <c 【解析】由图,直线x=1与四条曲线的交点坐标从下往上依次是(1,b ),(1,a ),(1,d ),(1,c ),故有b <a <1<d <c ,故选B.例7-2.(1)(2020·成都市·成都七中高三其他模拟)已知432a =,254b =,1325c =,则A .b a c <<B .a b c <<C .b c a <<D .c a b <<【详解】因为4133216a ==,2155416b ==,1325c =,因为幂函数13y x =在R 上单调递增,所以a c <,因为指数函数16xy =在R 上单调递增,所以b a <,即b <a <c .故选:A.(2)(2020·四川成都市·成都七中高三开学考试)设1323a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1313c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a b c >>B .a c b >>C .c a b >>D .b c a >>【解析】先比较a ,c 的大小关系,由13y x =在R 上是增函数可得:a c >,再比较b ,c 的大小关系,由1()3xy =在R 上是减函数可得:b c <, 综上可得:a c b >>,故选:B.【变式训练】(1)已知0.70.8a =,0.90.8b =,0.81.2c =,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a b c >>B.c a b >>C.b a c >>D.c b a >>【解析】根据指数函数的性质可知,函数0.8xy =为单调递减函数,所以00.70.910.80.80.8=>>,即1a b >>因为 1.2xy =为单调递增函数,所以0.80.211 1.2>=,即1c >综上可知, c a b >>,故选B(2)(2020·四川省高一期末)设.1084y =,0.728y =,3434y =,则( )A .312y y y >>B .213y y y >>C .132y y y >>D .123y y y >>【解析】()20.80.81.16224y ===,()0.70.73 2.12822y ===,()332 1.5443422y ===.因为 2.1 1.6 1.5222>>,故213y y y >>.故选:B(3)(2020·成都新津为明学校高一期中)已知 2.32.3a =, 1.92.3b =, 2.32.5c =,则a ,b ,c 的大小为( )A .c b a >>B .c a b >>C .a c b >>D .a b c >>【详解】利用指数函数的性质,可得 2.32.3a = 1.92.3b >=,又因为 2.32.3a =和 2.32.5c =,作商得, 2.32.512.3c a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,得到c a >,所以,c a b >>,故选:B例7-3.(1)(2020·成都市实验外国语学校(西区)高一期中)不等式124x ->的解集是( ) A .{}2x x > B .{}2x x <C .{}3x x >D .{}3x x <【解析】12242x ->=,12x ∴->,解得3x >,则解集是{}3x x >.故选:C .(2)(蓉城名校联盟2020年高一期中联考)不等式236212()2x xx --≥的解集为________. 【解析】式236212()2xxx --≥⇔232622x x x --≥,再由函数2x y =在定义域内单调递增,从而可得: ()()(][)22326560230,23,x x x x x x x x -≥-⇒-+≥⇒--≥⇒∈-∞+∞.(3)(2020·成都新津为明学校高一期中)已知函数()f x 是定义在R 的偶函数,当0x ≥时,恒有1212()()0f x f x x x -<-,且(3)0f =,则不等式(25)0x f -<的解集为_______.【解析】依题意,()f x 为偶函数,由于0x ≥时,恒有1212()()0f x f x x x -<-,所以()f x 在()0,∞+上递减,则()f x 在(),0-∞上递增,()()330f f -==, 所以()f x 在区间()(),33,-∞-+∞有()0f x <,故由(25)0xf -<得253x -<-或253x ->,即22x <或3282x >=, 解得1x <或3x >.所以不等式(25)0xf -<的解集为(,1)(3,)-∞+∞.【变式训练】(1)(2017·全国高一课时练习)设0<a <1,则使不等式222135x x x x a a >-+-+成立的x 的集合是________.【解析】01,xa y a <<∴=为减函数,222135xx xx a a -+-+>,222135x x x x ∴-+<-+,解得4x <,故使条件成立的x 的集合为(),4-∞,故答案为(),4-∞.(2)(2020·四川成都市·高一期末)已知函数()1x f x a =-(0a >,且1a ≠)满足()()1124f f -=.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅰ)解不等式()0f x >.【解析】(∵)∵()1x f x a =-(0a >,且1a ≠),∵()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=,解得12a =.∵a 的值为12.(∵)不等式()0f x >即1102x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,∵121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减,∵0x <.∵不等式()0f x >的解集为(),0-∞. 重难点突破8 指数函数性质综合 例8.已知函数.(∵)判断并证明函数的奇偶性;(∵)判断并证明函数的单调性; (∵)若,求实数的取值范围.【解析】(∵)是奇函数.证明:因为函数的定义域为,),1(,)(R ∈>-=-x a aa x f xx()f x ()f x 0)1()1(2<-+-t f t f t ()f x ()f x R又,所以是奇函数.(∵)函数为上的增函数.证明:任取,则.因为,所以,又,所以,,所以.所以函数为上的增函数.(∵)由,可得.由函数是奇函数,可得.又为上的增函数,所以,即解得 ,或.【变式训练】(1)已知函数11x x a f x a -=+(),其中0a >,且1a ≠.(1)判断f x ()的奇偶性,并证明你的结论; (2)当1a >时,求证:f x ()在R 为增函数. 【解析】(1)f x ()为奇函数.证明如下:由11x x a f x a -=+(),x R ∈,得1111111111xx x x x x xxx xa a a a a f x f x a a a a a -------=====-++++()(),即对任意的x R ∈, 都有f x f x -=-()(),所以f x ()为奇函数.(2)当1a >时,设1x ,2x R ∈,且12x x <,则12xxa a <,从而1212121111x x x x a a f x f x a a ---=-++()()1221121212111101111x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -+--+-==++++<()()()()2()()()()(), 所以12f x f x <()(),故f x ()在R 上为增函数.()()f x f x -=⋅⋅⋅=-()f x ()f x R +∞<<<∞-21x x 2211)()(21x x x x a a a ax f x f --+--=-)()(1221x x x x a a a a ---+-=21x x <21x x ->-1>a 21x x a a <12xx a a --<)()(21x f x f <()f x R 0)1()1(2<-+-t f t f )1()1(2t f t f --<-()f x )1()1(2-<-t f t f ()f x R 112-<-t t 022>-+t t 2-<t 1>t(2)(2020·成都七中万达学校高一月考)函数()(0,1)xf x a a a =>≠,(2)4(1)4f f -=-.(1)求a 的值;(2)若(32)(25)f m f m -<+,求实数m 的取值范围.【详解】(1)由题意(2)4(1)4f f -=-,则244a a -=-,解得2a =,综上:2a =. (2)由(1)知()2x f x =,则()f x 是R 上的增函数,因为(32)(25)f m f m -<+则3225m m -<+,解得7m <,综上所述,结论是:(),7m ∈-∞三、课堂定时训练(45分钟)1.(2019·安徽省肥东县第二中学高一期中)已知在同一坐标系下,指数函数和的图象如图,则下列关系中正确的是( )A .B .C .D .【解析】很显然,均大于1;与的交点在与的交点上方, 故,综上所述:.故选:C. 2.(2019·安徽高三高考模拟(文))函数的图象是( )A .B .C .D .【解析】,可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立,排除选项B ,故选:A3.设0a >,且1a ≠,则指数函数x y a =与一次函数y x a =-+的图象可能是( ) Cx y a =xy b=1a b <<1b a <<1a b >>1b a >>a b xy a =1x =xy b =1x =b a <1a b >>【解析】由题意知,当a 变化时,指数函数x y a =的图象过定点01(,).若1a >,则指数函数x y a =在R 上递增,一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点0a (,)在点01(,)的上方,与x 轴的交点0a (,)在x 轴正半轴,A 符合,B 不合题意.若01a <<,则指数函数x y a =在R 上递减,一次函数y x a =-+的图象与y 轴的交点在原点与点01(,)之间,与x 轴的交点在x 轴正半轴,C 、D 均不合题意.故选A . 4.(2019·云南高三高考模拟(文))已知,,,则下列不等式正确的是( ) A .B .C .D . 【解析】因为在R 上递减,且,所以.又因为在R 上递增,且 ,所以 .所以.故选:D.5.若2233x y x y ----<,则( )A .x y <B .x y >C .||1x y ->D .||1x y -<【解析】由2233x y x y ----<,得2323x x y y ----<,令23ttf t -=-(),因为2ty =为R上的增函数,3ty -=为R 上的减函数,所以f t ()为R 上的增函数,所以x y <,则A 正确,B 错误;,因为x y -与1的大小不能确定,故C 、D 无法确定.故选A .7.已知函数2222x xxf x -=++()的最大值为M ,最小值为m ,则M m += .【解析】设222x x x g x -=+(),由222222x x x x x xg x g x ------==-=-++()()()()()知, g x ()是奇函数,所以max min 0g x g x +=[()][()],所以max min 22404M m g x g x +=+++=+=[()][()].8.已知函数()()()210120xx x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩,则该函数是( ) A .偶函数,且单调递增 B .偶函数,且单调递减 C .奇函数,且单调递增D .奇函数,且单调递减【详解】当0x =时,(0)0f =;当0x >时,0x -<,所以()12()xf x f x --=-=-;当0x <时,0x ->,所以()21()xf x f x -=-=-;所以()()f x f x -=-,所以函数是奇函数.当0x ≥时,()21xf x -=-,由复合函数的单调性原理得函数单调递减,由奇函数的性质得函数在R 上单调递减.故选:D9.函数()()21121012211x x ax x f x a a a x ⎧-+<⎪=>≠⎨⎪-≥⎩且是R 上的减函数,a 取值范围是( ) A .1223⎛⎤ ⎥⎝⎦,B .112⎡⎫⎪⎢⎣⎭,C .1223⎡⎤⎢⎥⎣⎦,D .213⎡⎫⎪⎢⎣⎭,【详解】由题得22112201112122a x a a a a -⎧=-=≥⎪⨯⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪-+≥-⎪⎪⎩,解之得1223a ≤≤.故选:C10.(改编自2019·安徽马鞍山二中高三月考(文))若函数(且)的图象恒过定点,则 , ______.3x my a n -=+-0a >1a ≠(3,2)m =n =【解析】∵函数(且)的图象恒过定点,令,可得,,可得函数的图象经过定点.再根据函数的图象经过定点,∴,,解得,.11.已知函数,为常数,且函数的图象过点.(1)求的值;(2)若,且,求满足条件的的值.【解析】(1)由已知得,解得.(2)由(1)知,又,则,即,即, 令,则,即, 又,故,即,解得 .12.(2019·攀枝花市第十五中学校高一月考)设函数()(0,1)x xf x a a a a -=->≠.(1)若11221()32f a a -=+=,求22a a -+的值.(2)若3(1)2f =,求函数()f x 的解析式; (3)在(2)的条件下,设22()2()x xg x a a mf x -=+-,()g x 在[1,)+∞上的最小值为1-,求m .【解析】(1)由题意知11223a a -+=,可得112122()29a a a a --+=++=,可得17a a -+=,又由1222(249a a a a--+=++=),可得2247a a -+=.(2)由函数()x xf x a a -=-,且3(1)2f =,可得132a a -=, 整理得22320a a --=,解得2a =或12a =-(舍去), 3x my an -=+-0a >1a ≠0x m -=x m =2y n =-(),2m n -()3,23m =22n -=3m =4n =()12axf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ()1,2-a ()42xg x -=-()()g x f x =x 122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭1a =()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()g x f x =1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭112042x x⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭220t t --=()()210t t -+=0t >2t =122x⎛⎫= ⎪⎝⎭1x =-所以函数()f x 的解析式为()22x x f x -=-.(3)由(2)知()22x x f x -=-,得()2222()2()22222x x x x x x g x a a mf x m ---=+-=+--()()2222222x x x x m --=---+, 令()22x x t f x -==-,可得222()22()2h t t mt t m m =-+=-+-,又由函数()22x x f x -=-为增函数,因为1x ≥,所以3(1)2t f ≥=,当32m ≥,当t m =时,2min ()21h t m =-=-,即m =m =,当32m <,当32t =时,min 17()314h t m =-=-,解得7342m =>,舍去.综上可知m =. 13.(蓉城名校联盟2020年高一期中联考)已知函数()42+=x xb f x 为奇函数. (1)求实数b 的值;(2)若对任意的[]0,1∈x ,有()23202--+<f x kx k 恒成立,求实数k 的取值范围; 【解析】(1)∵函数()42+=x xb f x 的定义域为R ,且为奇函数, ∴()010=+=f b ,解得1=-b .(2)∵()44112222+-===-x x x x x xb f x ,∴()f x 在R 上单调递增,且()131222-=-=-f . ∵()23202--+<f x kx k ,则()()23212--<-=-f x kx k f , 又函数()f x 在R 上单调递增,则221--<-x kx k 在[]0,1∈x 上恒成立,∴()12141>++-+k x x 在[]0,1∈x 上恒成立,设()()12141=++-+g x x x ,则()()max 312==<g x g k , ∴实数k 的取值范围为32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,.。

相关主题