、与
基点无关
点
运动规律与基 点的选择有关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
理论力学
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§8-2 平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法）
已知：图形S内一点A的速度vA ， 图形角速度。求 vB 。
取A为基点, 将动系铰结于A点， 动系随基点作平移。
取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平移和相对 运动为圆周运动的合成，va vB;ve vA;vr vBA, 其中vBA大小：vBA=BA·； 垂直BA并指向与 转向一致。
cos(
2
)
vB
y
2
B
vA cos
O
vB vA cot
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r, AB 3r
求：当 600 时，点B的速度
解：
AB作平面运动
vA
由速度投影定 理
vB AB vA AB
A
O
B
vB
cos(
2
)
vA
vB
vB vA / sin
2 r
3
三、速度瞬心法 1.问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大
在该瞬时的位置也就确定了。
四、平面运动分解为平移和转动
当图形S 上Ａ点不动时，
则刚体作定轴转动；
当图形 S上角不变时，
则刚体作平移。
故刚体平面运动可以看成是
平移和转动的合成运动。
理论力学
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例如 车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）
二、速度投影定理
由
vB vA vBA
沿AB连线方向上投影
vB AB vA AB
v同一平面图形上任意两点的速度在这两点 连线上的投影相等。
已知：vA，AB= l ，
求：B端的速度以及AB的角速度
解： AB作平面运动
由速度投影定 理
vB AB vA AB
vB
简化。于是，自然会提出，在某一瞬时图形（或其扩展部分） 是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？
2.速度瞬心的概念
平面图形S，某瞬时其上一点A速度vA , 图形角速度，沿vA 方向取半直线AL, 然后
o
度 AP vA/ 则：vPvAvPA
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向 所. 以
动系Ax y 相对静系的平移 （牵连运动） 车轮相对动系Ax y 的转动 （相对运动）
三种运动都 是刚体运动
理论力学
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我们称动系上的原点Ａ为基点，于是
刚体的平面运动可以分
解为随基点的平移（牵
连运动）和绕基点的转
车轮的平面运动
动（相对运动）。
随基点A的平移
理论力学
绕基点A'的转动
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再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
3
二、平面运动的简化 刚体的平面运动
到固定平面 Ⅰ的距离不变
简
平面图形S在与Ⅰ
化
平行的平面Ⅱ内运动
平面图形S在其 自身平面内的运动
研究平面运动
不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度。
理论力学
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三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
vP 0
理论力学
15
即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平 面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。
3.几种确定速度瞬心位置的方法 ① 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚
动（称为纯滚动）, 则图形与固定面的接 触点P为速度瞬心。
② 已知某瞬间平面图形上A,B两点速度vA,vB
的方向，且vA 不平行 vB 。
AB上投影，有
vB AB vA AB —速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种 求解速度的方法称为 速度投影法。（对任意一个刚体均成立）
理论力学
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已知：vA，AB= l ，
求：B端的速度以及AB的角速度
解：
AB作平面运动 vB vA vBA
vB
y
vBA
根据速度合成定理 va ve vr, 则Ｂ点速度为：
vB vA vBA
理论力学
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即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基 点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称 为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。
二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）
由于A, B点是任意的，因此 vB vA vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系。由于恒有 vBAAB ，因此将上式在
我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示。因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量。所以
理论力学
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xA f1(t)
平面运动方程
yA f2(t)
f3(t)
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 xA, yA,， 图形S
vB vA cot
vBA
vA
sin
B vA
vBA vA
O
AB l sin
A x
vA
已知：OA匀角速度转动， , OA r, AB 3r
求：当 600 时，点B的速度
解：
AB作平面运动
vB vA vBA
vA
A
vB vA / sin O
2 r
3
vA B
vB
vBA
过A, B两点分别作速度 vA,vB的垂线,交点
P即为该瞬时的速度瞬心。
理论力学
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vA
A
O
P
AB
B
vB
P
③ 已知某瞬时图形上A,B两点速度 vA,vB
的大小,且 vA AB, vB AB
(a) vA 与vB同向，
vA vB AB
1
§8-1 刚体平面运动概述
简单 刚体的平行移动 运动 刚体的定轴转动
合成 分解
刚体的平面运动
复杂 运动
一、平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终
保持不变。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的 某一平面内运动。具有这种特点的运动称为刚体的平面运动。
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例如: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平移也不是定轴转动， 而是平面运动。
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'；
② 以B为基点: 随基点B平移到A''B'后, 绕基点转 2角到A'B'。
图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 ；于是有
lim
lim
t0
;
,
理论力学
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刚体的平面运动 分解
随基点的平移
合成
绕基点的转动
基