三、平面运动方程 为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，
我们只需确定平面图形内任意点的坐标和AB与x轴夹
角表示。因此图形S 的位
置决定于 x A , y A , 三个 独立的参变量。所以
平面运动方程
对于每一瞬时 t ，都可以求出对应的 x A , y A , ， 图形S 在该瞬时的位置也就确定了。 四、平面运动分面解为平动和转动
vB AB vA AB
—速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种
求解速度的方法称为 速度投影法。（对任意一个刚体均成立）
例3 图示的平面机构中，曲柄 OA=100mm 以角速度ω=2rad/s 转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知 CD=3CB,图示位置时A、B、E三点恰在一水平线上, 且CD⊥ ED 。试求此瞬时点E的速度。 D
（绝对运动）
三种运动都 是刚体运动
动系Ax y 相对静系的平动 （牵连运动）
车轮相对动系Ax y 的转动 （相对运动）
我们称动系上的原点Ａ为基点，于是 刚体的平面运动可以分 解为随基点的平动（牵 连运动）和绕基点的转 动（相对运动）。 车轮的平面运动
随基点A的平动
绕基点A'的转动
再例如: 平面图形S在t 时间内从位置I运动到位置II
①以A为基点: 随基点A平移到A'B''后, 绕基点转 1角到A'B'；
② 以B为基点: 随基点B平移到A''B'后, 绕基点转
2角到A'B'。
图中看出：AB A'B'' A''B' ， 1 2 ；于是有 1 2 d 1 d 2 lim lim 1 2 ; ,1 2 t 0 t t 0 t dt dt 结论： 平面运动可取任意基点而分解为平动和转动； 其中平动的速度和加速度与基点的选择有关； 平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点选择无关。
例: 曲柄连杆机构中连杆AB的运动， A点作圆周运动，B点作直线运动，因此， AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动， 而是平面运动。
行星齿轮机构
行星轮
一、平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任 一点到某一固定平面的距离始 终保持不变。也就是说，刚体 上任一点都在与该固定平面平 行的某一平面内运动。具有这 种特点的运动称为刚体的平面
3. 选定基点（设为A），而另一点（设为B）可应用公式， 作速度平行四边形。作图时要使vB 成为平行四边形的对角线。
vB v A vBA
4. 利用几何关系，求解平行四边形中的未知量。 5. 研究另一个作平面运动的物体，可按上述步骤继续进行。
例2 图示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置， BD//AE,杆AB的角速度为ω=5rad/s。求此瞬时杆DE的角速度和 v DB 杆BD中点C的速度。 解：1) 杆AB, DE定轴转动， BD作平面运动； 2）B,D,C各点速度分析 3）取B点为基点 D的速度。 D v
60 0
DE
E
vB
vCB BD
大小
l 0.75 m / s 2
方向
2 2 2 vC v B vCB cos( ) 2v C v B
2 2 vC v B vCB 2v B vCB cos120 0
1.5 2 0.75 2 2 1.5 0.75 (0.5)
[例1] 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径 为r。求轮子上A1、A2、A3和A4点的速度。 解：很显然速度瞬心在轮子与地 面的接触点即A1 A3
vO r v
x A f1 (t ) y A f 2 (t ) f 3 (t )
当图形S 上Ａ点不动时，
则刚体作定轴转动； 当图形 S上角不变时，
则刚体作平动。
故刚体平面运动可以看成是 平动和转动的合成运动。
例如
车轮的运动
车轮的平面运动可以看 成是车轮随同车厢的平动和
相对车厢的转动的合成。
车轮对于静系的平面运动
刚体的平面运动 分 解 绕基点的转动
随基点的平动
合成
基 点
运动规律与基 点的选择有关
、 与
基点无关
运动规律与基 点的选择无关
任意选取，通常选取运动情况已知的点作为基点
§8-2
平面图形内点的速度分析
一、基点法（速度合成法） 已知：图形S内一点A的速度 v A ， 图形角速度 。求 v B 。 取A为基点, 将动系固结于A点， 动系随基点作平动。 取B为动点，则B点的运动可视为牵连运动为平动和相对 运动为圆周运动的合成， va vB ; ve v A ; vr vBA , 其中vBA大小：vBA=BA· ；垂直BA并指向与 转向一致。 根据速度合成定理 va ve vr , 则Ｂ点速度为：
4）轮E沿水平面滚动，轮心 E的速度方向为水平。
vD
D
5）ED 作平面运动 由速度投影定理, D、E 两点的速度关系为：
CD
B
60 0
30 0
vB
E
30
0
A
vA
vE

O
C
v E cos30 0 v D
解出
vD 3v A 0.6 vE 0.8 m / s 0 2 0 0.75 cos30 cos 30
vA
O
A

vB
B
例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆AB作瞬时平动。
此时连杆AB的图形角速度AB 0 ，
此瞬时AB 杆上各点的速度都相等。 但各点的加速度并不
n 2 相等。设为匀角速，则 a A a A OA ()
vA
O
A

vB
B
而 a A 的方向沿AO的，aB
a A 瞬时平动与平 动不同
解题步骤如下：
1）分析题中各物体的运动，平动，转动，平面运动 2）研究作平面运动的物体, 分析点的速度大小和方向 。 分析已知要素 3）根据己知条件，求出图形的速度瞬心的位置和平面图
形转动的角速度，最后求出速度。
4）研究由几个图形组成的平面机构，则可依次对每一图 形按上述步骤进行，直到求出所需的全部未知量为止。
B
BD
C vB
D
60 0 60 0
vD

60
0
vB
v B v DBA v B l 1.5 m / s
60
0
DE
E
v D v DB v B 1.5 m / s
此时杆DE的角速度： DE
vDB 为点D绕B的转动速度:
得瞬时杆BD角速度：
v DB DB BD
vB v A vBA
即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基 点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为基点法，也称 为速度合成法。它是求解平面图形内一点速度的基本方法。
例1：椭圆规尺的A点速度为vA, 沿 x轴的负向运动，AB=l,求B点速度 和AB的角速度。 解：1）曲柄定轴转动，滑块平动， 尺AB作平面运动。 2）尺AB的各点速度 3）选A点为基点，B点的速度
运动。
二、平面运动的简化 刚体的平面运动 简 化 到固定平面 Ⅰ的距离不变
平面图形S在与Ⅰ 平行的平面Ⅱ内运动
所有与平面图形S垂直的直线段， 例如A1A2，都作平动，所以刚体的 平面运动，可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动
研究平面运动
不需考虑刚体的形状和尺寸，只 需研究平面图形的运动，确定平 面图形上各点的速度和加速度。
v DB 5 rad / s l
vD 5 rad / s l
BD
4）分析杆BD 取B点为基点，分析C点速度.
vC v B vCB
√
√
B
BD
vCB
v DB
vC

D
60 0 60 0
vD
大小 ×
方向 ×
√
√

A
60 0
C v B vB
0.75 3 1.299 m / s

(0.75 3 ) 2 1.5 2 0.75 2 2 0.75 3 1.5

3 2
30 0
二、速度投影法（对任意一个刚体均成立） 由于A, B点是任意的，因此 vB v A vBA 表示了图形上任 意两点速度间的关系。由于恒有 vBA AB ，因此将上式在 AB上投影，有
确定瞬心的一般方法：

P
vB P B vA A
A B

P
vA vB
A
vA
B A
vB vA
A B
vA vB
P
B vB

４.速度瞬心法 利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法。 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时 转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度 大小 v A AP ；方向AP，指向与 一致。 ５.注意的问题 ①速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心的速度为零, 其加速度一定不为零，不同于定轴转动。 ③刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是一定不相同的，不同于刚体作平动。
vB
y
v BA
vA
B

C AB M
vA
x
A
vB v A vBA