三角函数图像与性质经典题型题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）解析：因为函数y ＝－xc os x 是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A 、C ，当x ∈（0，2π）时，y ＝－xc os x ＜0。
题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
解析：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移 x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0D ．－(y +1)sin x +2y +1=0解析：将原方程整理为：y =x cos 21+，因为要将原曲线向右、向下分别移动2π个单位和1个单位，因此可得y =)2cos(21π-+x －1为所求方程.整理得（y +1）sin x +2y +1=0.题型3：三角函数图象的应用例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
解析：根据图象得A =2，T =27π－（－2π）=4π，∴ω=21，∴y =2sin （2x +ϕ），又由图象可得相位移为－2π，∴－21ϕ=－2π，∴ϕ=4π.即y =2sin （21x +4π）。
根据条件3=2sin （421π+x ），∴421π+x =2k π+3π(k ∈Z )或421π+x =2k π+32π（k∈Z ），∴x =4k π+6π（k ∈Z ）或x =4k π+65π（k ∈Z ）。
∴所有交点坐标为（4k π+3,6π）或（4k π+3,65π）（k ∈Z ）。
点评：本题主要考查三角函数的基本知识，考查逻辑思维能力、分析和解决问题的能力。
题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域； 分析：求函数的定义域：（1）要使0≤c os x ≤1，（2）要使sin （c os x ）＞0，这里的c os x 以它的值充当角。
解析：（1）0≤c os x ＜1⇒2k π－2π≤x ≤2k π+2π，且x ≠2k π（k ∈Z ）∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－2π，2k 图π+2π］且x ≠2k π，k ∈Z }。
（2）由sin （c os x ）＞0⇒2k π＜c os x ＜2k π+π（k ∈Z ）。
又∵－1≤c os x ≤1，∴0＜c os x ≤1。
故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－2π，2k π+2π），k ∈Z }。
题型5：三角函数的单调性例6．求下列函数的单调区间：（1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。
解：（1）y =21sin （4π－32x ）=－21sin （32x －4π）。
故由2k π－2π≤32x －4π≤2k π+2π。
⇒3k π－8π3≤x ≤3k π+8π9（k ∈Z ），为单调减区间；由2k π+2π≤32x －4π≤2k π+2π3。
⇒3k π+8π9≤x ≤3k π+8π21（k ∈Z ），为单调增区间。
∴递减区间为［3k π－8π3，3k π+8π9］，递增区间为［3k π+8π9，3k π+8π21］（k ∈Z ）。
（2）y =－|sin （x +4π）|的图象的增区间为［k π+4π，k π+4π3］，减区间为［k π－4π，k π+4π］。
题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数；③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立。
答案：①，k π（k ∈Z ）；或者①，2π+k π（k ∈Z ）；或者④，2π+k π（k ∈Z ）解析：当ϕ=2k π，k ∈Z 时，f （x ）=sin x 是奇函数。
当ϕ=2（k +1）π，k ∈Z 时f （x ）=－sin x 仍是奇函数。
当ϕ=2k π+2π，k ∈Z 时，f （x ）=c os x ，或当ϕ=2k π－2π，k ∈Z 时，f （x ）=－c os x ，f （x ）都是偶函数.所以②和③都是正确的。
无论ϕ为何值都不能使f （x ）恒等于零。
所以f （x ）不能既是奇函数又是偶函数。
①和④都是假命题。
题型7：三角函数的周期性例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。
解析：(1) )sin()(22ϕω++=x b a x f ， π=∴T ， 2=∴ω，又 )(x f 的最大值。
4)12(=πf ， 224b a +=∴ ① ，且 122cos b 122sin a 4π+π=②，由 ①、②解出 a =2 , b =3.(2) )32sin(42cos 322sin 2)(π+=+=x x x x f ， 0)()(==∴βαf f ， )32sin(4)32sin(4πβπα+=+∴， 32232πβππα++=+∴k ， 或 )32(232πβπππα+-+=+k ， 即βπα+=k (βα、 共线，故舍去) ， 或 6ππβα+=+k ，33)6tan()tan(=+=+∴ππβαk )(Z k ∈。
点评：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。
题型8：三角函数的最值【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b或y=acosx+b，可根据sinx，cosx的有界性来求最值；2．形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c看成是关于sinx或cosx的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k 或y=a(cosx+m)2+k，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例8】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合．∴使y取得最大值的x的集合为{x|x=(2kπ+1)π，k∈Z}∴使y取得最小值的x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}当cosx=1，即x=2kπ(k∈Z)时，y取得最大值3．【例11】函数f(x)=Asin(ωx+ )的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x的取值集合；(3)使f(x)＜0的x的取值集合；(4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．三角函数图像与性质经典题型题型1：三角函数的图象例1．（2000全国，5）函数y ＝－xc os x 的部分图象是（ ）题型2：三角函数图象的变换例2．试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。
例3．（2003上海春，15）把曲线yc os x +2y －1=0先沿x 轴向右平移2π个单位，再沿y 轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）A ．（1－y ）sin x +2y －3=0B ．（y －1）sin x +2y －3=0C ．（y +1）sin x +2y +1=0 D ．－(y +1)sin x +2y +1=0题型3：三角函数图象的应用例4．（2003上海春，18）已知函数f （x ）=A sin （ωx +ϕ）（A >0，ω>0，x ∈R ）在一个周期内的图象如图所示，求直线y =3与函数f （x ）图象的所有交点的坐标。
题型4：三角函数的定义域、值域例5．（1）已知f （x ）的定义域为［0，1］，求f （c os x ）的定义域；（2）求函数y =lgsin （c os x ）的定义域；题型5：三角函数的单调性例6．求下列函数的单调区间：（1）y =21sin （4π－32x ）；（2）y =－｜sin （x +4π）｜。
题型6：三角函数的奇偶性例7．（2001上海春）关于x 的函数f （x ）=sin （x +ϕ）有以下命题：①对任意的ϕ，f （x ）都是非奇非偶函数；②不存在ϕ，使f （x ）既是奇函数，又是偶函数；③存在ϕ，使f （x ）是奇函数；④对任意的ϕ，f （x ）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当ϕ=_____时，该命题的结论不成立。
图题型7：三角函数的周期性例8．设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ，（1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f 。
题型8：三角函数的最值【说明】 求三角函数的最值的类型与方法：1．形如y=asinx+b 或y=acosx+b ，可根据sinx ，cosx 的有界性来求最值；2．形如y=asin 2x+bsinx+c 或y=acos 2x+bcosx+c 看成是关于sinx 或cosx 的二次函数，变为y=a(sinx+m)2+k 或y=a(cosx+m)2+k ，但要注意它与二次函数求最值的区别，此时|sinx|≤1，|cosx|≤1【例8】 求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合．+【例11】 函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)的图象如图2-15，试依图指出(1)f(x)的最小正周期；(2)使f(x)=0的x 的取值集合；(3)使f(x)＜0的x 的取值集合； (4)f(x)的单调递增区间和递减区间；(5)求使f(x)取最小值的x 的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．。