F1
.
O
.

F2
A x
x2 y 2 练习：已知双曲线方程 为 1的右焦点为F2 , M是双 9 16 曲线右支上一点，定点 A(9,2), 求 | MA | | MF2 | 的最小值。
y
解：由双曲线第一定义 得：
| MF1 | | MF2 | 2a 6
F1
M .
.
O
.

F2
A x
| PF2 | a ex0 其中e为双曲线的离心率。 y l' 2
a c
l
P.
| PF1 | c 由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c
F1
.
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
| PF2 || PF 由双曲线的第一定义得： 1 | 2a a ex0
双曲线的 简单几何性质(2)
双曲线的第二定义
2 2 x y 方程 2 1(a b 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
图形
范围 对称性 顶点坐标
B1 (0,b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴
c e , (0 e 1) a
解： a 8 ， b 6， c a 2＋b2 10
l' y
l
由双曲线的第一定义得：
| PF 1 | 2a＋ | PF 2 | 24
F1
P.
.
由双曲线的第二定义得：
PF 1 5 e d 4
2
O
.
F2
d
2
| PF1 | 96 e 5
x y 思考：已知双曲线 1上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
2 a 证明： 双曲线的左准线为 x c
由双曲线的第二定义得： 2 a a x0 c
F1
O
.
F2
x
整理得:| PF 1 | a ex0
| PF2 || PF 由双曲线的第一定义得： 1 | 2a a ex0
x2 y2 例2：已知双曲线 1右支上一点P到右焦点的距离等于 8， 64 36 求点P到双曲线左准线的距离 。
即 ( x c) 2 y 2 c . 2 a a | x | c
F’
.
O
.
F
x
化简 (c 2 a 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 (c 2 a 2 ) .
2 2 x y 设 c 2 a 2 b2 ，则 方程化为 2 2 1 (a 0, b 0) a b
x2 y2 例3：已知双曲线方程为 1的右焦点为F2 , M是双曲线 9 16 3 右支上一点，定点 A(9,2), 求 | MA | | MF2 | 的最小值 5 y M .
解：由双曲线第二定义 得：
| MF2 | e, (d为M到右准线的距离 ) d 5 即 | MF2 | d 3 3 | MA | | MF2 || MA | d 5 a2 9 36 (| MA | d ) min x A 9 c 5 5
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长 分别为2a、 2b的双曲线.
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比 c 是常数 e (e 1)，则这个点的轨迹是双曲线 . y l' a 定点是双曲线的焦点， 定直线叫做双曲线的
准线，常数e是双曲线的离心率.
x y 对于双曲线 2 2 1， a b a2 右焦点F2 (c， 0)，对应的右准线方程是x . c a2 左焦点F1 (c， 0)对应的左准线方程是x . c a2 焦点在y轴上的双曲线的准线方 程是：y c
| PF 1 |min c a
| PF2 |min c a
说明：|PF1|, |PF2|称为椭圆的焦半径，此公式称为焦半径公式
x2 y 2 练习 已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b P( x0 , y0 )是双曲线左支上任意点 ，求 | PF1 |, | PF2 |
x2 y2 1 4 12 M的轨迹为以 (4,0)为焦点，实轴长为 4的椭圆 双曲线
a2 点 M ( x，y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 c c 距离的比是常数 (c a 0)，求点M的轨迹 . a l 解： l' y 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | 由题意知 c d a
练习：一动点 M到定点F (4,0)的距离与到直线 x 1的距离 之比为2, 求M的轨迹方程。
解：设M ( x, y),由题意得：
( x 4) 2 y 2 2 | x 1|
y
M
O
2

x 1
F
x
( x 4) y 4( x 1)
2 2
3x y 12
2 2
0 e 1
MF c M e d M l
时，是以F为一个焦点的椭圆，
常数e是它的离心率，定直线 l 是相应于焦点F的准 线。
y
椭圆 x +
a
2
2
y b
2 2
=1上的点P与其两焦点
N
P
M
F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左 焦半径和右焦半径,统称“焦半径”。
即 | MF2 || MF1 | 6 | MA | | MF2 || MA | | MF1 | 6
(| MA | MF1 | 6) min | AF 1 | 6 14 2 6 10 2 6
2 2
焦点在X轴上时,
设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为: |PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0
F1
o
F2
y=a2/c
F2
y
M
•
o
•P
x
焦点在y轴上时, 设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则:焦半径公式为: |PF1|=a +ey0， |PF2|=a-ey0 F1
•
N
y=-a2/c
2 2
l d .M
F’
.
O
.
F
x
x2 y 2 例1 已知双曲线 2 － 2 1(a 0, b 0)的焦点F （ ）F2 (c,0), 1 c,0 a b | PF P( x0 , y0 )是双曲线右支上任意点 ，求证： 1 | a ex0 ，
证明： 双曲线的左准线为 x
x a或x a, y R 关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (a,0), A2 (a,0) A1 (a,0), A2 (a,0)
A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴
c e , (e 1) a
a x a,b y b
离心率
复习
椭圆的第二定义 ： 平面内到定点F的距离与到定 直线 l 的距离之比是一个常数e的点的轨迹 当