(1)当 b2－a2k2＝0，即 k＝±ba时，直线 l 与双曲线的渐近线 平行，直线 l 与双曲线交于一点.
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(2)当 b2－a2k2≠0，即 k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－ a2k2)(－a2m2－a2b2).
若 Δ>0⇒l 与 C 有两个公共点，此时相交. 若 Δ＝0⇒l 与 C 有一个公共点，相切. 若 Δ<0⇒l 与 C 无公共点，相离.
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授人以渔
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题型一 由位置关系求参数的值 例 1 已知直线 l：y＝k(x－1)，双曲线 x2－y2＝4，试讨论实 数 k 的取值范围． (1)直线 l 与双曲线有两个公共点； (2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线 l 与双曲线没有公共点．
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2．3.2 双曲线的几何性质(二) (专题研究 直线与双曲线)
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1.一般地，设直线 l：y＝kx＋m(m≠0)，双曲线 C：xa22－yb22＝ 1，联立、化简，得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
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3.解决与双曲线的中点有关问题的两种方法. (1)根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程 组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中 点坐标公式解决； (2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标 分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系， 可求斜率 k＝yx11－－xy22.
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(1)当41（－4k－2≠30k，2）>0，即－23 3＜k＜233且 k≠±1 时，直线 与双曲线有两个公共点．
(2)当41－ －3kk2≠2＝00，，即 k＝±233时，直线与双曲线只有一个公 共点．
(3)当41－ －3kk2≠2＜00，，即 k＜－233或 k＞233时，直线与双曲线 无公共点．
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2.直线与双曲线相交所得弦长的两种求法. 方法一：利用距离公式. 求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求 弦长.
方法二：利用弦长公式. 设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 1＋k12|y1－y2| ＝ 1＋k12 （y1＋y2）2－4y1y2.
思考题 1 直线 l：y＝kx＋1 与双曲线 C：2x2－y2＝1 的右 支交于不同的两点 A，B，求实数 k 的取值范围．
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【解析】 将直线 l 的方程 y＝kx＋1 代入双曲线 C 的方程 2x2－y2＝1 后，整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.
探究 1 直线与双曲线的位置关系的判断思路： 利用交轨法解决直线与双曲线的公共点问题，要注意讨论转 化以后的方程的二次项系数．即若二次项系数为 0，则直线与双 曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为 0，则进一步研究 二次方程的根的判别式 Δ，得到直线与双曲线的公共点个数．
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综上所述，(1)当－233＜k＜－1 或－1＜k＜1 或 1＜k＜233 时，直线与双曲线有两个公共点；
(2)当 k＝±1 或 k＝±233时，直线与双曲线有且只有一个公共 点；
(3)当 k＜－233或 k＞233时，直线与双曲线无公共点．
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【解析】 由yx＝2－ky（2＝x－4 1），消去 y，得 (1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.① 当 1－k2＝0，即 k＝±1 时，直线 l 与双曲线的渐近线平行． 方程①化为 2x＝5，只有一个实数解，即直线与双曲线相交， 且只有一个交点． 当 1－k2≠0，即 k≠±1 时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．
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思考题 2 (1)经过点 P(12，2)且与双曲线 4x2－y2＝1 仅交 于一点的直线条数是( )源自A．4 C．2B．3 D．1
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【解析】 如图所示，过点 P 可引双曲线的两条切线，也可 作两条与渐近线平行的直线，故所求的直线有 4 条．
依题意，直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点，故 k2－2≠0， Δ＝（2k）2－8（k2－2）＞0， －k22－k 2＞0， k2－2 2＞0. 解得 k 的取值范围为－2＜k＜－ 2.
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题型二 确定直线条数
例 2 已知双曲线 C：x2－y42＝1，过点 P(1，1)作直线 l，使
l 与 C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线 l 共有( )
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
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【解析】 设直线 l：y－1＝k(x－1)，代入曲线 C，得 4x2－k2(x－1)2－2k(x－1)－1＝4. 整理，得(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－(k2－2k＋5)＝0. 令 Δ＝(2k2－2k)2＋4(4－k2)(k2－2k＋5)＝0， 即 8k＝20，得 k＝52. 又显然 x＝1 也符合题意， 又过 P(1，1)可作两条与渐近线平行的直线， 所以符合题意的直线共 4 条，故选 D. 【答案】 D
【答案】 A
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(2)过双曲线 x2－y2＝4 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，若|AB|＝4，则这样的直线可作________条；若|AB|＝5， 这样的直线可作________条．