成都一诊模拟题2理科数学试题第Ｉ卷一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上)1、设全集U R =，{,A x y =={}2,x B y y x R ==∈，则()R C A B =（ ▲ ）A 、{}0x x < B 、{}01x x <≤ C 、{}12x x ≤＜ D 、{}2x x >2、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则函数2)2(2)(-⊗⊕=x xx f 为（ ▲ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇且偶函数D 、非奇非偶函数3、对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（ ▲）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4、下列4个命题:（1）若a b <，则22am bm <；（2） “2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件；（3）命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02<-x x ”；（4）函数21()21x x f x -=+的值域为[1,1]-。
其中正确的命题个数是（ ▲ ）A 、1B 、2C 、3D 、05、定义在实数集R 上的函数()f x ，对一切实数x 都有）（）（x f x f -=+21成立，若()f x =0仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为（ ▲ ） A ．101 B ．151 C ．303 D ．23036、方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，则a 的取值范围（ ▲ ）A 、0>a 或8-≤aB 、0>aC 、3180≤<aD 、2372318≤≤a7、方程1log )11(2+=+-x xx的实根0x 在以下那个选项所在的区间范围内（▲）A.)21,85(--B.)83,21(--C.)41,83(--D.)81,41(--8、已知函数1()()2(),f x f x f x x=∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax=-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（▲）A 、1(0,)eB 、1(0,)2eC 、ln 31[,)3e D 、ln 31[,)32e9、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的]2,[a a y ∈，都有],[2a a x ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时c a +的取值为（ ▲ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610、定义][x 表示不超过x 的最大整数，记{}][x x x -=，其中对于3160≤≤x 时，函数1}{sin ][sin )(22-+=x x x f 和函数{}13][)(--⋅=xx x x g 的零点个数分别为.,n m 则（▲） A ．313,101==n m B ．314,101==n m C ．313,100==n m D ．314,100==n m第Ⅱ卷二．填空题（本大题3个小题，每题5分，共15分，请把答案填在答题卡上）11、已知函数0≤x 时，xx f 2)(=，0>x 时，13()log f x x =，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数有▲个.12、给定方程：1()sin 102xx +-=，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在(–∞，0)内有且只有一个实数解； ④若0x 是该方程的实数解，则0x >–1。
则正确命题是▲．13、下列命题是真命题的序号为： ▲①定义域为R 的函数)(x f ，对x ∀都有)1()1(x f x f -=-，则)1(-x f 为偶函数②定义在R 上的函数)(x f y =，若对R x ∈∀，都有2)1()5(=-+-x f x f ，则函数)(x f y =的图像关于)2,4(-中心对称 ③函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则)1949(+x f 是奇函数 ④函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图形一定是对称中心在图像上的中心对称图形。
⑤ 若函数d cx bx ax x f +++=23)(有两不同极值点21,x x ，若)()(1212x f x f x x ->-，且11)(x x f =，则关于x 的方程0)(2)]([32=+⋅+⋅c x f b x f a 的不同实根个数必有三个三．解答题：（本大题共4小题，共50分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）14、已知向量m u r =(sin()A B -，sin()2A π-)，n r =(1，2sin B )，且m u r ⋅n r =sin 2C -，其中A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角. （1）求角C 的大小；（2）若3sin sin sin 2A B C +=，且ABC S ∆=，求边c 的长.15、设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x )0(>a ；命题:q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-->-+0608222x x x x ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围？16、甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m ，n (m ＞n )，且三位学生是否做对相互独立.记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(Ⅰ)(Ⅱ)求m ，n 的值； (Ⅲ)求ξ的数学期望。
17、设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈.（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1(,1]2k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 的最大值M.（3）当0=k 时，又设函数222)121ln()(2++--+=x x x x x g ，求证：当,2≥n 且*N n ∈时，)(ln )(131211n f n g n+>++++理科数学试题2（参考答案）一、选择题1-5 DABAD 6-10 DCCCA 二、填空题：11、3 12、②③④ 13、③④⑤三．解答题：（本大题共6小题，共75分。
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） 14、（12分）解：（Ⅰ）m u r ⋅n r=sin()A B -+2cos sin A B sin cos cos sin sin()A B A B A B =+=+在ABC ∆中，A B C π+=-，0C π<<所以sin()sin A B C +=，又 m u r ⋅n r=sin 2C - 所以sin sin 2=2sin cos C C C C =--所以1cos 2C =-，即23C π=.（Ⅱ）因为3sin sin sin 2A B C +=，由正弦定理得32a b c +=.1sin 24ABC S ab C ab ∆===4=ab .由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-22229()44a b ab a b ab c =++=+-=-解得c =.15、解：由命题p 得(3)()0x a x a --<，由命题q 得2228042,2323,60x x x x x x x x ⎧+-><->⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨-≤≤--≤⎪⎩⎩或 由此分析，只有0>a 才可能，所以对于p ：3a x a <<设(](,3),2,3A a a B ==p 是q 的必要不充分条件 故A B ⊇，23a a ∴≤>且3 又0>a ，故12a <≤16、（12分）解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12PA PB m PC n ,,===. ……………1分(Ⅰ)由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=.………3分 (Ⅱ)由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=，……4分 ()()113224P P ABC mn ξ====，…………………………………5分整理得 112mn =，712m n +=.由m n >，解得13m =，14n =. ………………………………………7分 （3）由题意知()()()()1a PP ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14，……………………10分所以ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.17、（本小题1问3分，2问7分，3问5分，满分15分） 解：'()(1)22(2)x x x x f x x e e kx xe kx x e k =-+-=-=- （1）当1k =时，令'()(2)0xf x x e =-=，得120,ln 2x x ==当0x <时，'()0f x >；当0ln 2x <<时，'()0f x <；当ln 2x >时，'()0f x >； ∴函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞、(ln 2,)+∞；单调递减区间为(0,ln 2) （2）∵112k <<， ∴ 122k <<， 所以 0ln 2ln 2k << 记()ln 2,h k k k =-则21'()12k h k k k -=-=在1(,1)2k ∈有'()0h k <， ∴当1(,1)2k ∈时，()ln 2(1)1ln 20h k k k h =->=->。
即ln 20k k >> ∴当1(,1)2k ∈时，函数()f x 在[0,ln 2)k 单调递减，在(ln 2,]k k 单调递增。
(0)1f =-，3()(1)k f k k e k =--，记3()()(1)k g k f k k e k ==--，下证()1g k ≥- '()(3)k g k k e k =-，设()3k p k e k =-，令'()30k p k e =-=得ln 31k =>∴()3kp k e k =-在1(,1]2为单调递减函数，而13() 1.5022p =>=，(1)30p e =-<∴'()(3)0k g k k e k =-=的一个非零的根为01(,1]2k ∈，且003ke k =显然3()(1)k g k k e k =--在01(,)2k 单调递增，在0(,1]k 单调递减，∴3()()(1)k g k f k k e k ==--在1(,1)2上的最大值为332300000000()(1)333(1)11g k k k k k k k k =--=-+-=-->-11()128g =>-⇔74>而74> ∴ 1()12g >-，(1)1g =-综上所述，当1(,1]2k ∈时，函数()f x 在[0,]k 的最大值M 3(1)k k e k =--.注：思路较多，但没说明为什么在k 取最大值或不清楚的至少扣4分（3）当0=k 时，原式为xe x xf )1()(-=化简不等式右边后即证22)1ln(1........4131211+++>+++++=n nn n s n ]111[21)1ln(+-++=n n)]111()3121()211[(21)1......342312ln(+-+-+-++⋅⋅=n n n n即证：)111(21)1ln(1+-++>n n n n n 即证)11ln(2111n n n +>++设)1,0(1∈=t n，移项，引出新函数 即证0)1ln(2111)(>+-++-=t t t t h求导后很容易判断出单调增 故)0()(h t h >得证，)(ln )(131211n f n g n+>++++ 得证。