则
∂z ∂z ∂z ∂z , 仍旧是复合函数，即 = f u′ ( u, v ), = f v′( u, v ), 而u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ), ∂u ∂v ∂u ∂v
x ). y
（ 2） z = f ( x ,
x (记(1))
z = f (或f ′ )
x (记( 2)) y
x→0 y = x→0
x2 y2 = 1. x 2 y 2 + ( x − y)2
若动点P ( x , y )沿y = 2 x趋于(0,0)，则： lim
x2 y2 不存在. x 2 y 2 + ( x − y)2
x→0 y = 2 x→0
4x4 x2 y2 = lim = 0. x 2 y 2 + ( x − y ) 2 x→0 4 x 4 + x 2
证法 1：利用复合函数、隐函数的求导公式。
由F ( x , y , t ) = 0可知，t是x , y的函数：t = t ( x , y ).
∂z ∂ y ln( 1+ xy ) x xy = e [ln(1 + xy ) + y ⋅ ] = (1 + xy ) y [ln(1 + xy ) + ]. ∂y ∂y 1 + xy 1 + xy
（8） u = arctan( x − y )
z
解:
∂u z ( x − y ) z −1 ∂u − z ( x − y ) z −1 ∂u ( x − y ) z ln( x − y ) ; ; ; = = = ∂x 1 + ( x − y ) 2 z ∂y 1 + ( x − y ) 2 z ∂z 1 + ( x − y)2z
1 u2 2x 3x2 + ⋅ 3 = 2 ln( 3 x − 2 y ) + ; y v y (3 x − 2 y ) y 2
v
y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂y ∂u ∂ y ∂v ∂y
= 2u ln v ⋅ (
2x2 −x u2 − 2x2 ) ( 2 ) ln( 3 2 ) . + ⋅ − = x − y − v (3 x − 2 y ) y 2 y2 y3
第八章 多元函数微分法及其应用 习题 8－1（下册 P12）
5.求下列极限： 分析：求多元函数的极限可利用函数的连续性和一元函数求极限的一些方法。 (3) 解: lim
2 − xy + 4 4 − ( xy + 4) 1 = lim =− . x →0 x →0 xy 4 xy + 4 ) y→0 y → 0 xy ( 2 +
x 2 + y 2 − arctan
1 1+ y x2
2
y , x
Fx =
1 x2 + y2
⋅
x x2 + y2
−
⋅ (−
y x+ y )= 2 ; 2 x x + y2
Fy =
1 x2 + y2
⋅
y x2 + y2
−
1 1+ y x2
2
⋅
1 y− x ; = 2 x x + y2
Fx dy x + y x2 + y2 x + y ∴ . = ⋅ =− =− 2 dx Fy y− x x− y x + y2
x+ y 不存在. x− y
x+ y 2y + y = lim = 3, x = 2 y →0 x − y y→0 2 y − y y →0
∴ lim
x→0 y→0பைடு நூலகம்
x2 y2 （2） lim 2 2 . x→0 x y + ( x − y ) 2 y→0
解: 若动点P ( x , y )沿y = x趋于(0,0)，则：lim
x 2 + y 2 < δ 时 , 就有：
∴
xy x2 + y2
−0 ≤
x2 + y2 δ xy ＝0. < = ε . ∴ lim 2 x → 0 2 2 x + y2 y →0
习题 8－2（下册 P20）
1.求下列函数的偏导数： （4） z = sin( xy ) + cos ( xy )
2
解:
F ∂z ∴ =− x =− ∂x Fz
Fy 1 y z2 ∂z 1z z ∴ . = = − = − ; = x+z x+z x+z y( x + z ) ∂y Fz − 2 − 2 z z
注意：两种解法的差别：在等式两边对 x 或 y 直接求偏导数时，应当把 z 看成是 x，y 的函 要把 y,z 看成常数， 同样求 F y , Fz 数， 不能把 z 看成常数； 而用隐函数的求导公式求 F x 时， 时要分别把 x , z及x , y 看成常数（注意公式的推导过程） 。 6. 设x = x ( y , z ), y = y( x , z ), z = z( x , y )都是由方程F ( x , y , z ) = 0所确定的具有
8. 求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶连续偏导数). （ 2） u = f (
x y , ). y z
x
u= f
x y 解： 令s = ，t = , 则u = f ( s , t ). y z ∂u ∂f ∂s 1 ∂u ∂f ∂t y = ⋅ = ⋅ fs; = ⋅ = − 2 ⋅ ft ; ∂x ∂s ∂x y ∂z ∂t ∂z z
. 证明：
连续偏导数的函数
∂ x ∂y ∂ z ⋅ ⋅ = − 1. ∂ y ∂ z ∂x
证：
F y ∂y Fy F ∂z F F F ∂ x ∂ y ∂z ∂x = − x ,∴ ⋅ ⋅ = (− , )( − z ) ( − x ) = −1. =− z , =− ∂y ∂z ∂x Fz Fz F x ∂z F y ∂x Fx Fy ∂y
x ，求 f x ( x ,1). y
4. 设f ( x , y ) = x + ( y − 1) arcsin
解: 解法1：可以先求出 f x ( x , y ), 再代入 y = 1 ⇒ f x ( x ,1) = 1;
解法 2：由偏导数的定义可以 先求出 f ( x ,1) = x , 再求 f x ( x ,1) = 1计算较简便 .
6. 证明下列极限不存在： （1） lim
x →0 y →0
x+ y . x− y x+ y x + 2x = lim = −3, x → 0 x− y x − 2x
解: 若动点P ( x , y )沿y = 2 x趋于(0,0)，则： lim
x →0 y = 2 x →0
若动点P ( x , y )沿x = 2 y趋于(0,0)，则： lim
注意： 本题说明偏导数
∂z ∂y ∂x 、 、 均是一个整体记号 , 不能看作分子与分母之 商. ∂ x ∂ z ∂y
11. 设y = f ( x , t ), 而t是由方程F ( x , y , t ) = 0所确定的x , y的函数，
其中 f , F 都具有一阶连续偏导数
∂f ∂F ∂f ∂F ⋅ − ⋅ dy ∂x ∂t ∂t ∂x . . 证明： = ∂f ∂F ∂F dx ⋅ + ∂t ∂y ∂t
s
y
z
t
∂u ∂f ∂s ∂f ∂t x 1 = ⋅ + ⋅ = − 2 fs + ⋅ ft . ∂y ∂s ∂ y ∂t ∂y z y
12. 求下列函数的二阶偏导数(其中 f 具有二阶连续偏导数). 分析：在求二阶偏导数时特别注意： 如果z = f ( u, v ), u = ϕ ( x , y ), v = ψ ( x , y ),
解法 1: 等式两边对 x求导，注意 y是 x的函数 .
dy dy x −y 1 dx dx ⋅ = ⋅ 2 x2 x2 + y2 2 x2 + y2 1 + y x2 1 2x + 2 y
x+ y
dy dy =x − y, dx dx
∴
dy x + y . = dx x − y
解法 2: 设F ( x , y ) = ln
y
∂z −z ∂z ∂z z 2 ∂y − x = z − , , ∂y ∂y y y2
x z − ln , 则： z y
− x ∂z y = ⋅ z 2 ∂y z
∴
∂z z2 . = ∂y y ( x + z )
解法 2: 设F ( x , y ) =
1 1 y z x y 1 x+z F x = ; F y = − ⋅ ( − 2 ) = ; Fz = − 2 − ⋅ = − 2 , z z y z y y z z
x ∂z ∂z , v = 3 x − 2 y, 求 , . y ∂x ∂ y
分析：用多元复合函数的求导法则求偏导数时,先画出链式法则图，再按图写出求导公式来 求导，这种方法对复杂的复合情形尤为有利.
u
解:
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ⋅ + ⋅ = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
z
x
= 2u ln v ⋅
x
解：
1 1 ∂z = f 1′ ⋅ 1 + f 2′ ⋅ = f 1′ + f 2′; ∂x y y
y
∂2z 1 1 1 2 1 ′′ ⋅ 1 + f 12 ′′ ⋅ ) + ( f 21 ′′ ⋅ 1 + f 22 ′′ ⋅ ) = f 11 ′′ + f 12 ′′ + 2 f 22 ′′ ; = ( f 11 2 y y y y ∂x y ∂2z x 1 1 x x 1 1 ′′ ⋅ ( − 2 ) − f 2′ ⋅ 2 ) + f 22 ′′ ⋅ ( − 2 ) = − 2 ( f 12 ′′ + f 22 ′′ ) − 2 f ′; 2 = f 12 ∂x∂y y y y y y y y