第1章质点运动学习题解答1-1 如图所示，质点自A 点沿曲线运动到B 点，A 点和B 点的矢径分别为A r 和B r。

试在图中标出位移r和路程s ，同时对||r 和r 的意义及它们与矢径的关系进行说明。

解：r和s 如图所示。

||r是矢径增量的模||A B r r ，即位移的大小；r 是矢径模的增量A B A B r r r r ||||，即矢径长度的变化量。

1-2 一质点沿y 轴作直线运动，其运动方程为32245t t y （SI ）。

求在计时开始的头3s 内质点的位移、平均速度、平均加速度和所通过的路程。

解：32245t t y ，2624t v ，t a 12)(18)0()3(m y y y)/(63s m yv)/(183)0()3(2s m v v as t 2 时，0 v ，质点作反向运动)(46|)2()3(|)0()2(m y y y y s1-3 一质点沿x 轴作直线运动，图示为其t v 曲线图。

设0 t 时，m 5 x 。

试根据t v 图画出：(1)质点的t a 曲线图；(2)质点的t x 曲线图。

解：)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v（1）dtdva，可求得：)106( 5.775)62( 5.215)20( 2020t t t t t t v质点的t a 曲线图如右图所示 （2）dtdxv ， t x vdt dx 00， 可求得：20 t 时，txdt t dx 05)2020(， 520102 t t x62 t 时，txdt t dt t dx 225)5.215()2020(， 3015452t t x 106 t 时，txdt t dt t dt t dx 66225)5.775()5.215()2020(，210754152t t x)106( 21075415)62( 301545)20( 52010222t t t t t t t t t x质点的t x 曲线图如右图所示。

1-4 如图所示，路灯距地面的高度为H ，在与路灯水平距离为s 处，有一气球由离地面h 处开始以匀速率0v 上升（H h ）。

建立图示坐标系，在气球上升的高度小于H 时，求气球影子M 的速度和加速度与影子位置的关系。

解：x s x H t v h0，即t v h H Hsx 0Hsx v t v h H HSv dt dxv o 2020)(223202sH x v dx vdv dt dv a 1-5 一质点在Oxy 平面内运动，运动方程为j t i t r)219(22 (SI)。

(1)求质点运动的轨道方程并画出运动轨道；(2)计算1s 末和2s 末质点的瞬时速度和瞬时加速度；(3)在什么时刻质点的位置矢量与其速度矢量恰好垂直？这时，它们的x 、y 分量各为多少？(4)在什么时刻质点离原点最近？算出这一距离。

解：j t i t r )219(22 ，j t i dt r d v 42 ，j dtv d a4(1) t x 2 ，2219t y消t ，得轨道方程：2192x y ，其曲线为开口向下的抛物线，如右图。

（2）j i v42)1( ，j i v 82)2(j a4)1( ，j a 4)2((3)0 r v，0)219(442 t t t 解得：01 t ，)(32s t01 t 时，0)0( x ，19)0( y ，2)0( x v ，0)0( y v32 t 时，6)3( x ，1)3( y ，2)3( x v ，12)3( y v以上物理量均为国际单位。

（4）222)219(4t t r令0 dtdr，解得)(3s t )(08.637)3(m r1-6 一物体沿x 轴运动，其加速度和位置的关系满足x a 62 (SI)。

物体在0 x 处的速度为10 m/s ，求物体的速度和位置的关系。

解：00 x ，)/(100s m vdxdv v dt dx dx dv dt dv x62vx dx x vdv 10)62(100462 x x v1-7 一质点沿x 轴作直线运动，初始速度为零，初始加速度为0a ，出发后每经过时间间隔 秒加速度就均匀增加0a ，求出发后t 秒，质点的速度和距出发点的距离。

解：t a a dt dva00vtdt t a a dv 00)(2002t a t a v，dtdxvxtdt t a t a dx 0200)2(3020621t a t a x1-8 一艘正在沿直线行驶的快艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即2kv a ，式中k 为正常数。

试证明快艇在关闭发动机后又行驶x 距离时的速度为kx e v v 0，式中0v 是发动机关闭瞬时的速度。

解：dxdvv dt dx dx dv dt dv kv2 vv x kdx v dv00，kx v v 0ln kx e v v 01-9 一飞轮的转速在5s 内由900rev/min 均匀地减到800rev/min 。

求：(1)飞轮的角加速度；(2)在此5s 内飞轮的总转数；(3)再经几秒飞轮将停止转动。

解：)/(6029000s rad，)/(602800s rad（1）)/(09.23220s rad t（2）3251502120t t )(8.702rev N（3）t 0 )(40s t1-10 一质点在水平面内作圆周运动，半径m 2 R ，角速度2kt ，式中k 为正常数。

当0 t 时，4/π0 ，第2s 末质点的线速度大小为32m/s 。

用角坐标表示质点的运动方程。

解：22kt R vs m v /32)2( ，4 k ，24t dtdt dt t d 0244)(4343rad t1-11 一质点沿半径为0.01m 的圆周运动，其运动方程为226t t (SI)。

求：(1)法向加速度与切向加速度大小恰好相等时的角位置1 ；(2)质点要回头运动时的角位置2 。

解：226t t ，t dt d 46，)/(42s rad dtd)/(04.02s m R a t)/()46(01.0222s m t R a n（1）n t a a ，4)46(2 t ，解得：)(11s t ，)(22s ts t 11 时)(41rad s t 22 时)(41rad（2）046 t解得)(5.1s t ，此时质点要回头运动。

s t 5.11 时)(5.42rad1-12 一质点从静止出发沿半径m 3 R 的圆周运动，切向加速度为3 t a m/s 2。

(1)经过多少时间它的总加速度a恰好与半径成45°角？(2)在上述时间内，质点所经过的路程和角位移各为多少？解： 3 dtdv a t m/s 2，t dt a v t t 30 （1）n t a a 时，a恰好与半径成45°角33)3(2t ，解得)(1s t （2）dt ds v ， t s tdt ds 003，223t s )(5.1)1(m s s )(5.0rad Rs1-13 质点M 作平面曲线运动，自O 点出发经图示轨迹运动到C 点。

图中，OA 段为直线，AB 、BC 段分别为不同半径的两个1/4圆周。

设0 t 时，M 在O 点，已知运动方程为2530t t s (SI)，求2 t s 时刻，质点M 的切向加速度和法向加速度的大小。

解：s t 2 时m s 80 此时质点在大圆上 t dt dsv 1030)/(102s m dt dv a t30)1030(22t R v a ns t 2 时)/(3.832s m a n1-14 一质点沿半径为R 的圆周按2021bt t v s 的规律运动，其中0v 和b 都是常数。

求：(1)质点在t 时刻的加速度；(2)t 为何值时，加速度在数值上等于b ；(3)当加速度大小为b 时质点已沿圆周运行了几圈？解：bt v dt ds v 0，b dtdva t ，R bt v R v a n 202)( （1）240222)(Rbt v b a a a nt （2）b a ，b R bt v b 2402)(，00bt v ，b v t 0 （3）当加速度大小为b 时，b vt 0 代入得b v s 22Rbv R sn 4221-15 一个半径为0.1 R m 的轻质圆盘，可以绕过其盘心且垂直于盘面的转轴转动。

一根轻绳绕在圆盘的边缘，其自由端悬挂一物体。

若该物体从静止开始匀加速地下降，在2 t s 内下降的距离4.0 h m 。

求物体开始下降后3s 末，盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度的大小。

解：221at h，)/(2.0222s m tha a t t t a v v t 2.00 ，s t 3 时)/(6.0s m v ，)/(36.022s m Rv a n 1-16 已知质点在水平面内运动，运动方程为j t t i t r )515(52(SI)，求1 t s 时的法向加速度和切向加速度的大小及轨道曲率半径。

解：j t t i t r)515(52 ，j t i v )1015(5 ，j a 101 t s 时，j i v55)1( 与x 轴成 45，)/(25s m v)/(2545cos 2s m a a nvv 0451010雨地v 雨车v 雨车)/(2545sin 2s m a a t )(252m a v n1-17 公路旁一高为H 的建筑物上有一物体以初速0v 作平抛运动，一汽车以u 的速度在公路上行驶，如图所示。

在图示坐标系下，以物体抛出的瞬时为计时零点，并设该瞬时两坐标系重合。

求车上观察者观测到该物体的运动方程及轨道方程。

解：以在面为S 系，车为S 系S 系：t v x 0 ，221gt H y运动方程为j gt H i t v r)21(20 物地轨道方程为222v gx H yS 系：j gt H i t u v i ut j gt H i t v r r r)21()(-)21(2020 ＝＝地车物地物车t u v x ）（-0 ，221gt H y轨道方程为202)(2u v x g H y 1-18 一人骑车以10km/h 速率自东向西行驶时观察到雨滴垂直下落；当他的行驶速率增加至20km/h 时观察到雨滴与人前进方向成135°角下落。

求雨滴相对于地的速度。

解：车地雨车雨地＝v v v如图所示，利用矢量合成法，易得：)/(14.1445cos h km v v雨车雨地＝机地v 气地v 机气v 车地雨地1-19 飞机驾驶员要往正北飞行，而风相对地面以10m/s 的速率由东向西刮来。