第一章 质点运动学一 选择题1． 下列说法中，正确的是：（ ）A. 一物体若具有恒定的速率，则没有变化的速度；B. 一物体具有恒定的速度，但仍有变化的速率；C. 一物体具有恒定的加速度，则其速度不可能为零；D. 一物体具有沿x 轴正方向的加速度而有沿x 轴负方向的速度。

解：答案是D 。

2. 长度不变的杆AB ，其端点A 以v 0匀速沿y 轴向下滑动，B 点沿x 轴移动，则B 点的速率为：（ ）A . v 0 sin θB . v 0 cos θC . v 0 tan θD . v 0 / cos θ 解：答案是C 。

简要提示：设B 点的坐标为x ，A 点的坐标为y ，杆的长度为l ，则222l y x =+ 对上式两边关于时间求导：0d d 2d d 2=+t y y t x x ，因v =t x d d ，0d d v -=ty ，所以 2x v -2y v 0 = 0 即 v =v 0 y /x =v 0tan θ所以答案是C 。

3. 如图示，路灯距地面高为H ，行人身高为h ，若人以匀速v 背向路灯行走，则人头影子移动的速度u 为（ ） A. v H h H - B. v h H H - C. v H h D. v hHv x选择题2图灯s选择题3图解：答案是B 。

简要提示：设人头影子到灯杆的距离为x ，则H h x s x =-，s hH H x -=， v hH H t s h H H t x u -=-==d d d d 所以答案是B 。

4. 某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作A. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向．B. 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向．C. 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向．D. 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ( )解：答案是D5. 一物体从某一确定高度以v 0的初速度水平抛出，已知它落地时的速度为v t ，那么它的运动时间是：（ ） A. g 0v v -t B. g 20v v -t C. g 202v v -t D. g 2202v v -t 解：答案是C 。

简要提示： gt t ty =-=202v v v ，g t t /202v v -=所以答案是C 。

6. 在做自由落体运动的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到：( )A. 球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落；B. 球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落；C. 球匀减速地上升，与顶板接触后停留在那里；D. 球匀减速地上升，达最大高度后停留在那里；解：答案是B 。

提示：升降机内的人与球之间没有加速度。

7. 某人在由北向南行驶，速率为36 km ⋅ h –1的汽车上，测得风从西边吹来，大小为10 m ⋅ s –1，则实际风速大小和方向为：（ ）A. 0B. 14.14 m ⋅ s –1，西南风C. 10 m ⋅ s –1，西南风D. 14.14 m ⋅ s –1，西北风解：答案是D 。

简要提示：如图所示，由题意可知，已知牵连速率v 0为36 km ⋅ h –1（即10 m ⋅ s –1），而相对速率v '为10 m ⋅ s –1，所以绝对速率v 为14.14 m ⋅ s –1，方向指向东南。

所以答案是D 。

二 填空题1一质点在空间三坐标上的运动方程分别为 x=A cos ω t ， y=A sin ω t ，z=h ω t /2π，式中A 、h 、ω 均为大于零的常数，则质点在x 和y 轴上的分运动是__________________________，在z 轴上的分运动是______________，在xy 平面内的运动轨迹为__________________，在x 、y 、z 空间内的运动轨道为______________________。

解：答案为：谐振动； 匀速直线运动； 以O 为圆心半径为A 的圆； 以z 为轴线的螺旋线。

2. 一质点运动的加速度为j i a 232t t +=，初始速度与初始位移均为零，则该质点的运动方程为 ，2秒时该质点的速度为 。

解：答案为：j i r 434131t t +=；1s m )84(-⋅+=j i v 简要提示：已知质点运动的加速度，可得质点的速度为 j i a 320t t dt +=+=⎰v v运动方程为 j i r r 4304131t t dt +=+=⎰v 所以，2秒时质点的速度为： 1s m )84(-⋅+=j i v3. 两辆车A 和B ，在笔直的公路上同向行驶，它们从同一起始线上同时出发，并且由出发点开始计时，行驶的距离 x 与行驶时间 t 的函数关系式：24t t x A +=，3222t t x B += (SI)，则：(1) 它们刚离开出发点时，行驶在前面的一辆车是______________；(2) 出发后，两辆车行驶距离相同的时刻是____________________；(3) 出发后，B 车相对A 车速度为零的时刻是__________________． 解：答案为：（1）A ；（2）t = 1.19 s ；（3）t = 0.67 s简要提示： （1）两车的速度分别为t tx A A 24d d +==v 264d d t t tx B B +==v 可得：t = 0时 B A v v > ，即刚开始时A 车行驶在前面。

(2) 由B A x x =，可得t = 1.19 s(3) 由B A v v =，可得 t = 0.67 s4. 一质点以初速v 0，抛射角为θ0作斜抛运动 ，则到达最高处的速度大小为_____，切向加速度大小为______，法向加速度大小为_______，合加速度大小为_______。

解：答案为：v 0cos θ 0； 0； g ； g 。

5. 一质点从静止出发沿半径为3 m 的圆周运动，切向加速度大小为3 m ⋅ s –2，则经过 s 后它的总加速度恰好与半径成45°角。

在此时间内质点经过的路程为 m ，角位移为 rad ，在1s 末总加速度大小为 m ⋅ s –2解：答案为：1s ； 1.5 m ； 0.5 rad ； 4.2 m ⋅ s –2。

简要提示：(1) a n = a τ ，R t a R a 2τ2n )(==v ，s 1==τa R t (2) m 5.1212τ==t a s (3) rad 5.022==⋅=∆R s R s ππϕ (4) 1s 末，22τ2n s m 3)(-⋅===Rt a R a v ，222n 2τs m 2.4s m 23 --⋅=⋅=+=∴a a a6. 若地球的自转速率快到使得在赤道上的法向加速度为g ，则一天的时间应为 小时。

（地球半径R = 6.4⨯10 6m ）解：答案为：1.41小时。

简要提示：由：g R =2ω，Rg =ω， h 41.1s 507522====gR T πωπ7. 一列车以5.66 m ⋅ s –2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m ⋅ s –2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m ⋅ s –2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g 。

列车的加速度，即牵连加速度a 0，大小为a 0 = 5.66 m ⋅ s –2，所以小球的相对加速度a ' 为 0a g a -='得a ' 的大小为： 2202s m 3.11-⋅=+='a g a与竖直方向的夹角θ为 ︒='=-30)/(sin 01a a θ三 计算题1. 半径为R 的轮子在水平面上以角速度ω 作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点运动的轨迹的矢量方程为j i r )cos ()sin (t R R t R Rt ωωω-+-=，其中i 、j 分别为x ，y 直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。

当ω为常数时，找出速度为零的点。

解：质点运动的参数方程为⎩⎨⎧-=-=t R R y t R Rt x ωωωcos sint R ty t R R t x y x ωωωωωsin d d cos d d ==-==∴v v ， tt R t R t R R y x ωωωωωωωω222222sin )cos 1()sin ()cos (+-=+-=+=∴v v v 2sin 2t Rωω=v t R ta t R t a y y x x ωωωωcos d d sin d d 22====v v ，Θ R a a a y x 222ω=+=∴由以上速度公式，可得：当ω t =2n π，n 为整数时，v = 0，代入参数方程可得 0=y即: 轮子与水平面的接触点（y = 0）的速度始终为0。

2. 一艘正以v 0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向、大小与船速平方成正比的加速度，即d v /d t=-k v 2，k 为一常数，求证船在行驶距离x 时的速率为v =v 0e -kx 。

解：已知：2d d v v k t -= 分离变量：xt x x t d d d d d d d d v v v v == 得： vv v v v k x k x d d d d 2-=-= 两边积分 d d 00⎰⎰-=v v vv k x x 得： 00ln 1)ln (ln 1 v v v v k k x -=--= kx e -=0v v3. 一质点初始时从原点开始以速度v 0沿x 轴正向运动，设运动过程中质点受到的加速度a = −kx 2，求质点运动的最大距离。

解：已知：x 0 = 0，v 0和a = −kx 2，运用分离变量，得：x kx kx xd d d d 22-=-=v v v v 两边积分： ⎰⎰-=xx kx 02d d 0v v v v得： 3/)3202kx -=-v (v 21 当v = 0时，质点运动的距离最大，即：3/120max )2/3(k x v = 4. 如图所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA 长为r ，连杆AB 长为l 。

AB 的一端用销子在A 处与曲柄OA 相连，另一端以销子在B 处与活塞相连。

当曲柄以匀角速度ω 绕轴O 旋转时，通过连杆将带动B 处活塞在气缸内往复运动，试求活塞的运动方程。

解：建立坐标如图，以O 为原点，水平向左为x 的正方向，并取曲柄A 端处在x 轴的P点时为初始时刻。

由图可得活塞B 的运动方程为：t r l t r RB OR x ωω222sin cos -+=+= 5. 距河岸(可看成直线) 500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 n =1 r/min 转动．当光束与岸边成60°角时，求光束沿岸边移动的速率v 。