基本概念：（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。
（3） 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。
（4） 平面应力与平面应变；设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。
同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。
这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。
设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。
由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。
因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。
（5） 一点的应力状态；过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。
（6） 圣维南原理；（提边界条件）如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。
（7） 轴对称；在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
一、平衡微分方程：(1) 平面问题的平衡微分方程；00yxx x xy yy f x yf x yτστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂（记）(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；10210f f ρρϕρϕρϕρϕρϕϕ∂σ∂τσσ∂ρρ∂ϕρ∂σ∂ττρ∂ϕ∂ρρ-+++=+++=1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。
2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。
二、几何方程；（1） 平面问题的几何方程；x y xy ux v y v u x yεεγ∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂（记）（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；1212121u u v v u v ρρρϕϕϕρϕρϕρϕεεερεεερρ∂ϕγγγρρϕρ∂=+=∂∂=+=+∂∂=+=+-∂∂1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。
2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。
（刚体位移） 三、物理方程；（1） 平面应力的物理方程；()()()1121x x y y y x xy xyE EEεσμσεσμσμγτ=-=-+=（记）（2） 平面应变的物理方程；()22111121x xy y yx xy xyE E Eμμεσσμμμεσσμμγτ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭+=（3） 极坐标的物理方程（平面应力）；1()1()12(1)E E G Eρρϕϕϕρρϕρϕρϕεσνσεσνσνγττ=-=-+==（4） 极坐标的物理方程（平面应变）；221()11()12(1)E E Eρρϕϕϕρρϕρϕμμεσσμμμεσσμμγτ-=---=--+=四、 边界条件；（1） 几何边界条件；平面问题：()()()()s s u u s v v v == 在u s 上；（2） 应力边界条件；平面问题：()()xyx xsxyy ysl m f l m f σττσ+=+=（记）（3） 接触条件；光滑接触：()()n nσσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()()()n n n n u u σσ'='= n 为接触面的法线方向（4） 位移单值条件；()()2u u θπθ+=（5） 对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。
这种问题称为空间轴对称问题。
一﹑概念1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。
2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。
3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。
.4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。
8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。
9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。
10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。
11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。
它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。
14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。
16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。
会推导两种平衡微分方程17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。
（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全5.平面问题的应力边界条件为)()()()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσ填空7.圣维南原理的三个积分式如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为8.艾里应力函数⎰⎰⎰⎰⎰⎰--±=--±=--±=⋅±=⋅⋅±=⋅⋅±=⋅2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(1)(1)(1)(h h yh h l x xy h h x h h l x x h h xh h l x x dy y f dy ydy y f ydy dy y f dy τσσsh h l x xy h h l x x N h h l x x F dy Mydy F dy =⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰-=-=-=2/2/2/2/2/2/1)(1)(1)(τσσy x y x y f x y x x f y y x xyy y x x ∂∂∂-=-∂∂=-∂∂=),(,),(,),(22222φτφσφσ计 算 理 解 计算一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．相容方程B ．近似方法C ．边界条件D ．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A ．几何上等效B ．静力上等效C ．平衡D ．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。
4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yΦy x Φx Φ，6、设有函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=Φh y h y qy h y h y qx 332332251344， （1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h ）。
（15分）解：（1）将φ代入相容方程024422444=∂∂+∂∂∂+∂∂yΦy x Φx Φ，显然满足。
因此，该函数可以作为应力函数。
（2）应力分量的表达式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∂∂Φ∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=∂Φ∂=-+=∂Φ∂=22323322333222461342,3346y h hqxy x h yh y q x h qyh qy h y qx y xy y x τσσ考察边界条件：在主要边界y ＝±h/2上，应精确满足应力边界条件()q h y h y q hy hy y -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=-=-=23321342σ ()013422332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-===hy hy y h y h y q σ ()04622232=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=±=±=hy hy xy y h h qx τ 在次要边界x ＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：())(03342/2/3302/2/奇函数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-=-dy h qy h qy dy h h x h h x σ()03342/2/3302/2/=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-=-ydy h qy h qy ydy h h x h h x σ()2/2/==-⎰dy x h h xyτ在次要边界x ＝l 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：())(033462/2/33322/2/奇函数=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰⎰-=-dy h qy h qy h y ql dy h h l x h h x σ()233462/2/33322/2/ql ydy h qy h qy h y ql ydy h h l x h h x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎰⎰-=-σ()ql y h h ql dy h h l x h h xy -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰⎰-=-2/2/2232/2/46τ对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。