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4 弹性力学的几个基本概念:应变


应力的方向和正负 应力的方向和正
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后, 道后,其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
在一点附近, 在一点附近,沿三个 材料力学定义剪应力 坐标方向切出三个面. 以使物体顺时针旋转 坐标方向切出三个面 为正, 为正, 注意: 注意:平面以其外法 线来定义方向的。 线来定义方向的。 因而是反对称的 因而是反对称的
弹性体的受力: 弹性体的受力:外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力, 物体内部材料的相互作用力称为内力, 单位面积的内力称为应力( 单位面积的内力称为应力 stress ) 。
设想将物体切开, 设想将物体切开,分开两部分 的相互作用可以用力来表示。 的相互作用可以用力来表示。 力随位置而变化。 力随位置而变化。 取微小面积, 取微小面积,将作用力除以面 积,在面积趋于零即趋于一点 时的极限,就是该点处应力。 时的极限,就是该点处应力。
应力张量的概念 中心点 C 力矩平衡
x
两个坐标面上应力知 道后, 道后,其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x , σ y ,τ xy
以平面问题说明
应力张量的概念
l = cos( n , x ) 两个坐标面上应力知 道后,cos( n , y ) 道后= 其它任一方向 m , 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
应力的方向和正负 应力的方向和正
弹性体的受力: 弹性体的受力:外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力, 物体内部材料的相互作用力称为内力, 单位面积的内力称为应力( 单位面积的内力称为应力 stress ) 。
正应力与面外法向一致 为正, 为正,即以拉应力为正 在面外法向与坐标轴 一致时, 一致时,剪应力与坐标 轴一致为正;反之亦然 轴一致为正;
弹性力学的平面问题
平面应力问题: 很薄的等厚薄板 受力情况: 只在板边上受平行 于板面且不沿厚度 变化的面力和约束
物理方程:广义虎克(胡克) 物理方程:广义虎克(胡克)定律
力与变形成正比: 力与变形成正比:刚度 正应力与正应变成正比: 正应力与正应变成正比:杨氏模量 E 侧向变形, 侧向变形,泊松效应 µ
弹性体的变形
UA VA VB UB
PA 的伸长量UA PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 弹性体的变形: 正应变 normal strain
∂u ∂v ε x = ,ε y = ∂y ∂x UA
VA VB UB
PA 的伸长量UA PB 的伸长量VB
弹性体的变形: 弹性体的变形: 剪应变 shear strain
弹性体的受力: 弹性体的受力:外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力, 物体内部材料的相互作用力称为内力, 单位面积的内力称为应力( stress 。 单位面积的内力称为应力 Normal)stress
Shear stress 应力在作用截面的法线方向和 切线方向上的两个分量,分别 切线方向上的两个分量, 称为正应力σ和剪应力 。 称为正应力 和剪应力τ。 和剪应力 一点处的正应力和剪应力, 一点处的正应力和剪应力,其 大小和方向随选用截面而变化。 大小和方向随选用截面而变化。 以杆件单向拉伸为例说明。 以杆件单向拉伸为例说明。
物理方程:广义虎克(胡克) 物理方程:广义虎克(胡克)定律
力与变形成正比: 力与变形成正比:刚度 正应力与正应变成正比: 正应力与正应变成正比:杨氏模量 E 侧向变形, 侧向变形,泊松效应 µ
弹性力学的平面问题
一切弹性体的空间的,三维的。 那为什么要考虑平面问题? 空间问题比较困难,平面问题比较简单 先做简单的事情,积累经验 对有些特定的物体,将其间化为平面问题, 可能更能体现物体的受力和变形特征。 模型应尽可能简单,简单到不失真为止; 模型应尽可能简单,简单到不失真为止; 模型应尽可能复杂,复杂到能解决为止; 模型应尽可能复杂,复杂到能解决为止;
力与变形成正比: 力与变形成正比:刚度 正应力与正应变成正比: 正应力与正应变成正比:杨氏模量 E 侧向变形, 侧向变形,泊松效应 µ
平面应变的虎克定律
εz = 0 σz ≠ 0
虎 克 定 律 平面应变 平面应力
物理方程:广义虎克(胡克) 物理方程:广义虎克(胡克)定律
力与变形成正比: 力与变形成正比:刚度 作业: 作业: 正应力与正应变成正比: 以应变表示应力 正应力与正应变成正比:杨氏模量 E 侧向变形, 侧向变形,泊松效应 µ 的本构关系
应力张量的概念:主应力和应力主向 主应力和应力主向 某一方向剪应力为零
应力张量的概念:主应力和应力主向 主应力和应力主向
Mohr 圆的应用
应力张量的概念:正应力、剪应力的极值 正应力、 正应力
选取坐标轴为应力主向
正应力极值: 正应力极值: 剪应力的极值: 剪应力的极值:
应力张量的概念
三个坐标面上应力知 道后, 道后,其它任一方向 上应力可以求出来。 上应力可以求出来。
虎克定律的弹性常数 结构参数:刚度 单位长度变形与单位面积受力
F/A = E u/L
εx =
侧向变形, 侧向变形, 泊松效应 µ
杨氏模量
σx
E
σx
E
ε z = −µ σx
E
ε y = −µ
物理方程:广义虎克(胡克) 物理方程:广义虎克(胡克)定律
力与变形成正比: 力与变形成正比:刚度 侧向变形, 侧向变形,泊松效应 µ
复习: 复习:弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同,一般弹性体结构复杂, 与杆件不同,一般弹性体结构复杂, 各处受力不同, 各处受力不同,各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形,同样随位置、 如何描述弹性体的变形,同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测,但位移与变形不同 位移可直接观测,
复习: 复习:弹性力学的内容和方法
• 弹性力学问题,通常是已知物体的形状、 大小和弹性常数,物体边界受力或约束情 况,而物体内部的受力、物体的变形或位 移则是需要求解的未知量。 • 考虑静力学建立平衡微分方程; 根据微分 线段上形变与位移之间的几何关系,建立 几何方程;根据应力与形变之间的物理关 系,建立物理方程。 • 在物体的边界上,还要建立边界条件。
复习: 复习:弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 理想弹性体:完全弹性、连续、均匀和 理想弹性体:完全弹性、连续、 各向同性这4个基本假定的物体。 各向同性这4个基本假定的物体。 • 弹性力学通常假设物体受力之后的位移和 变形都远小于物体自身尺度, 变形都远小于物体自身尺度,变形之后的 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 位置和尺度可义用变形之前的数值表示。 • 有关方程做线性简化,并满足叠加原理。
弹性力学的几个基本概念
悬 臂 梁 • 如何描述弹性体的受力
新课
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 与杆件不同,一般弹性体结构复杂, 与杆件不同,一般弹性体结构复杂, 各处受力不同, 各处受力不同,各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形,同样随位置、 如何描述弹性体的变形,同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测,但位移与变形不同 位移可直接观测,
∂v ∂u α= β= ∂x ∂y
∂v ∂u γ = + ∂x ∂y
UA
VA VB UB
PA 的转动量VA PB 的转动量UB
∂u ∂v 弹性体的变形 ε x = ∂x , ε y = ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
UA VA VB UB
刚体移正应变 和 剪应变
∂u ∂v ε x = ,ε y = ∂x ∂y
γ xy
∂v ∂u = + ∂x ∂y
3 个应变是有两个位移确定的, 个应变是有两个位移确定的, 因而应变分量不是独立的, 因而应变分量不是独立的,满足关系 :
∂ γ xy
2
∂ εx ∂ εy = + 2 2 ∂x∂y ∂y ∂x
2 2
变形协调方程或相容方程
祝大家 学习愉快 万事如意
弹性体的受力: 弹性体的受力:外力和内力
外界作用于物体力称为外力。力的单位 N 外力可以分为体积力和表面力。 体积力有时也称为质量力, 重力和惯性力;体积力的单位 N/m3 高速旋转的物体可能因离心力作用而发生 破坏。不过,体积力一般可不考虑 表面力是作用在物体表面的力, 表面力是作用在物体表面的力,如流体压力 和接触力。表面力的单位: 和接触力。表面力的单位:1 N/m 2 = 1Pa
弹性体的受力: 弹性体的受力:外力和内力
物体内部材料的相互作用力称为内力, 物体内部材料的相互作用力称为内力, 单位面积的内力称为应力 ( stress )。 。 应力张量的概念
在一点附近, 在一点附近,沿三个 坐标方向切出三个面. 坐标方向切出三个面 注意: 注意:平面以其法线 来定义方向的。 来定义方向的。
剪应力是对称的。 剪应力是对称的。
σ x τ xy τ xz
τ xy τ xz σ y τ yz τ yz σ z
平面应力的Mohr 圆
l = cos( n, x)
m = cos( n, y )
选取坐标轴为应力主向
τ

σ2
(σ1+σ2)/2
σ1
弹性体的变形
• 弹性体受力之后的变形和位移都很小, 悬臂梁 • 可以用变形之前的位置和尺度表示变形之 can 后的位置和尺度。 t i l e v e r • 对于物体中的每一点,都有确定的空间位 置,用坐标表示。 • 物体受力之后,各点都会产生微小的位置 变化,也就是位移。 • 不同的点位移不同,就会引起变形。
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