三、确定梁的内力的简化方法 可以总结出梁的内力与外力一般关系，得到确定
梁内力的简化方法如下：
(1) 梁截面上剪力在数值上等于该截面以左（或以右）所
有外力在正交于梁轴方向上投影的代数和，截面以左向上
（或以右向下）的外力在该截面上引起正剪力，反之引起 负剪力。 (2) 梁截面上弯矩在数值上等于该截面以左（或以右）所 有外力对截面形心力矩的代数和，向上的外力在该截面上 引起正弯矩，反之引起负弯矩。
0 x l
M0 M x x
M x
AC 段： CB 段：
0 x a
a x l
M x FAV x
M x FAV x M 0
l
M0 l x l
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 m
简支梁
外伸梁 （伸臂梁）
悬臂梁
5.1.2 梁的计算简图
常见的荷载：
集中力 分布荷载 集中力偶
F
q
q( x)
m
5-2 梁的内力 剪力和弯矩
一、弯曲内力的确定（截面法）：
根据截面法，图中梁上距A端 x A a FAY A FAY l FQ C M m m FBY F B
x 处m-m截面上内力求解：
A
FAV
a
b
C
B
FBV
l
m l
解: (3)画内力图
FQ
mb l ma l
M
5.4 内力与分布荷载间的关系 及应用
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
在梁中取出一长度为 dx 的微段， 其受力情况分析如下： 荷载：q(x) 左截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x), FQ(x) 右截面上的内力（对于微段已 是外力）：M(x)+dM(x), M ( x)
例5.5 图示简支梁在C点受矩为M的集中力偶作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 M
A
FAV
a
0
b
C
B
FBV
l
FAV M0 l
解: (1)求支反力
M B 0
剪力方程无需分段： 弯矩方程——两段：

FB
M0 l

(2) 列剪力方程和弯矩方程
Q x FAV M0 l
FQ FAV
F (l a ) l
F (l a ) x l
FBY
M FAV x
一、弯曲内力的确定（截面法）：
梁横截面的内力： 1. 弯矩：M 梁受弯时，在与横截面垂直 的竖向平面内所存在的内力偶矩 （弯矩）。 2. 剪力： FQ 梁受弯时，横截面上所存在 平行于截面的内力（剪力）。 M C FBY A a FAV l x m m FBV F F B
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
5.4.2. 几种常见荷载下梁的剪力图与弯矩图的特征
无外力段 外 力 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0
FQ 图 特 征 + x FQ > 0
－
F q>0
斜直线
Me C C
无变化
q<0
水平直线
自左向右突变
x －
+
x
+
C
－
x
C
FQ <0 曲线 在C截面有折角 在C截面有突变
FA
6
+ 1 FQ (kN)
FB
－
4
FQ33 FB 4kN
根据微分关系可作出剪 力图
例5.6 求作梁的内力图。 解：
3、作弯矩图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为斜直线，DF段为抛物线
MA 0
MB 0
FP=2kN
1
2
q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
解：(1)求支反力
(2)列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
AC段 0 x a
Fb FQ x l
CB 段
a x l
Fa FQ x l
FQ x VB
Fb M x x l
M x VB (l x )
Fa l x M x l
解：（1）确定支座反力 A l/4
q
C l B
ql FAV FBV
(2) C截面内力
2
取C截面以左部分为脱离体：
FQC
l ql FAV q FQC 0 FQC 4 4 MC 0
l ql l M C FAV 0 4 4 8
Y 0
A
FAV
C
MC
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
max
。
M
max
例5.6 求作梁的内力图。 解：1、支反力
FA 6kN; FB 4kN
FP=2kN
1
2
q=2.5kN/m
3
A
C 2D 1
1m 1m
1m
E
F
3
B
1m 1m
2、作剪力图 由微分关系可知，AC、CD、FB段 分别为水平直线，DF段为斜直线
FQ11 FA 6kN FQ22 FA 5 1kN
1.求支座反力 Fa F (l a) FBY , FAY l l 2.求m-m截面内力 以m - m 截面的左段为研究对象：
Y 0,
FAY FQ 0.
F (l a) FQ FAY l
M FAY x F (l a) x l
mC 0, M FAY x 0.
FQ ( x )dx M ( x ) 1 q( x )(dx )2 [ M ( x ) dM ( x )] 0 2
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x ) dFQ ( x ) 2 dx dx
dM 2 ( x ) q( x ) 2 dx
dFs x qx dx
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C
Fb l
B FBV
解： (3)画内力图 FQ
M
Fb
Fa l
Fab l
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
Fb l
B FBV
解： (3)画内力图 FQ
3ql 2 MC 32
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
解：（1）确定支座反力 A l/4
q
C l B
ql FAV FBV
(2) C截面内力 (3) B截面内力
2
FQB
MB
B
贴近B端取一薄片作为脱离体：
Y 0
M
B
FBV FQB 0
FQB
ql 2
FBV
0
MB 0
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
2.根据内力方程画剪力图 和弯矩图。 注意：M图画在梁纤维受拉的 一面,可以不标正负号。
－
FQ x －qx
0 x l
x
ql
ql2 2 x
例5.4 图示简支梁受集中荷载F作用。试作梁的剪力图和弯 矩图。 F b a
A FAV
x
C l
FAV Fb l
FBV Fa l
B FBV
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
M ( x)
O1
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
q、FQ和M三者的微分关系:
dFQ x q x dx
dM ( x ) FQ ( x ) dx
dM 2 ( x) q( x) 2 dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该截面处分布荷载值（以向 上为正）。
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图
梁
常见的梁的弯曲现象：
以弯曲变形为主的构件称为梁
F
F
工厂厂房的天车大梁
梁
常见的梁的弯曲现象：
轻轨的箱梁： 阳台的挑梁：
梁
常见的梁的弯曲现象：
火车的轮轴：
F
F
F
F
5.1.1
梁的平面弯曲概念
梁的平面弯曲的特征 所有横向外力（或其合力）均作用在同一纵向平面内，变形 后轴线成为一条平面曲线，其所在平面与外力作用面重合， 这种弯曲称为平面弯曲。
FQ
Fb l
Fa l
q F
Fa l