椭圆 专题
例1．如图：直线L ：与椭圆C ：交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形
OAPB 。

求证：椭圆C ：与直线L ：总有
两个交点。

当时，求点P 的轨迹方程。

（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。

解：(1)由
得
椭圆C ：与直线L ：总有两个
交点。

(2)设,,,与交于点，则有
即
，又由（1）得
，
（2）
得
（3）
1y mx =+2
22(0)
ax y a +=>222(0)
ax y a +=>1y mx =+2a =22
1
2
y mx ax y =+⎧⎨+=⎩22()210
a m x mx ++-=22044()0a m a m >∴=++>∴
2
22(0)
ax
y a +=>1y mx =+(,)P x y 1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y AB OP M 1212,2222
x x y y x y ++==1212
,x x x y y y =+=+122
22m
x x m +=-
+122
1x x a m ⋅=-
+12122
22
224
(1)
(1)(1)()2()2222m
m x y mx mx m x x m m m m ∴=-
=+++=++=-
+=+++(1)(2)
÷22x m x
m y y
=-⇒=-
将（3）代入（2）得
点P 的轨迹方程为
当时，这样的直线不存在；当时，存在
这样的直线，此时直线为
例 2. 设椭圆
的两个焦点是与
，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.
（1）求实数的取值范围；
（2）设是相应于焦点的准线，直线与相
交于点
，若
，求直线的方程.
解：（Ⅰ）由题设有 设点P 的坐标为
由PF1⊥PF2，得 化简得
①
将①与联立，解得
222
2
4
22042y x y y x y
=
⇒+-=+(0,0)x y ≠≠∴
2
2220x
y y +-=(0,0)
x y ≠≠121212122121200(1)(1)0(1)()10
OA OB x x y y x x mx mx m x x m x x ⋅=⇒+=⇒+++=⇒++++=222
222212(1)()()1012021
m
m m a m a m
m m a m m a -∴+-
++=++⇒---++=⇒=-∴
01a <<1a >l
1y =+11
22
=++y m x )0,(1
c F -)
0(),0,(2>c c F P 1
PF 2
PF
m L 2
F 2
PF L Q
322
2
-=PF QF 2
PF .
,0m c m =
>),
,(00y x ,10000-=+⋅-c
x y
c x y .
2020m y x =+11
2
02
0=++y m x .
1
,12022
m
y m m x =-=
由
所以m 的取值范围是
.
（Ⅱ）准线L 的方程为设点Q 的坐标为，
则
②
将
代入②，化简得
由题设 ，得 ， 无解.
将
代入②，化简得
由题设
，得 .
解得m=2. 从而
，
得到PF2的方程
例3.（08安徽）设椭圆过点，
且左焦点为
.
1,01
,0220
≥≥-=>m m
m x m 得1
≥m .
1m m x +=
),(1
1
y x .
11m
m x +=
.
1
||||0
122x m m
m
m x c c
x PF QF --+=--=m
m x 120-=
.11
1
||||2222-+=--=m m m m PF QF 32|
||
|22-=PF QF 3
212-=-+m m m
m x 1
20--
=.11
1
||||2222--=-+=m m m m PF QF 32|
||
|22-=PF QF 3
212-=--
m m 2,22,2300=±=-
=c y x ).
2)(23(--±=x y )0(1:22
22>>=+b a b
y a x C )
1,2(
M )
0,2(
1
F
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点
时，在线段
上取点
，满足。

证明：点Q 总在某定直线上。

解：（Ⅰ）由题意：，解得.
所求的求椭圆的方程
.
（Ⅱ)方法一：设点，，，由题设，
、、、均不为0，且，又四点共线，可设，，于是
，
…………………………………① ，
…………………………………②
由于，在椭圆上，将①②分别带入的方程
，整理得：
………………③ ………………④
由④-③得 .
C ()4,1P l C ,A B
AB
Q
||||PB AQ QB AP ∙∙222222
2111
c a b c a b ⎧=⎪
⎪+=⎨⎪=-⎪⎩
2
24,2
a b ==C 22
142
x y +=(,)Q x y 1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y PA
PB AQ QB PA PB
AQ QB =,,,P A Q B
PA AQ λ=-(0,1)PB BQ λλ=≠±141x
x λλ
-=
-111y y λλ-=
-241x x λλ
+=+211x y λλ
+=
+1
1
(,)A x y 2
2
(,)B x y C 22
142
x y +=222(24)4(22)140x y x y λλ+--+-+=222(24)4(22)140
x y x y λλ+-++-+=8(22)0x y λ+-=。