信号与系统第三版课后答案燕庆明【篇一：信号与系统课后习题】t)?tf(t?td),tf(t?t0)?yf(t?t0)?,yf(t?t0)?(t?t0)f(t?t0)。
(3)令g(t)?f(t?t0)，t[g(t)]?g(?t)?f(?t?t0)，tf(t?t0)? yf(t?t0)，yf(t?t0)?f(?t?t0)1.2.已知某系统输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)?f(t)判断该系统是否为线性时不变系统？解:设t为系统运算子，则y(t)可以表示为y(t)?t[f(t)]?f(t),不失一般性，设f(t)?f1(t)?f2(t)t[f1(t)]?f1(t)?y1(t),t[f(t)]?f1(t)?f2(t)?y(t),显然其不相等，即为非线性时不变系统。
df(t)t??f(x)dx(2):[y(t)]2?y(t)?f(t) 1.3判断下列方程所表示系统的性(1):y(t)?0dt（3）：y(t)?2y(t)?3y(t)?f(t)?f(t?2)（4）：y(t)?2ty(t)?2y(t)?3f(t) 线性非线性时不变线性时不变线性时变1.4。
试证明方程y(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。
证明：不失一般性，设输入有两个分量，且f1(t)→y1(t),f2(t)→y2(t) 则有y1(t)+ay1(t)=f1（t)，y2(t)+ay2(t)=f2(t) 相加得y1+ay1(t)+y2(t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t) 即d[y1(t)+y2(t)]+a[y1(t)+y2(t)] dt=f1(t)+f2(t）可见f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。
故系统为线性的。
1.5。
证明1.4满足时不变性。
证明将方程中的t换为t-t0,t0为常数。
即y(t-t0)+ay(t-t0)=f(t-t0) 由链导发则，有dy(t?t0)? dtd(t?t0)dy(t?t0)d(t?t0)dy(t?t0)dy(t?t0)?1从而又因t0为常数，故所以有 ??dtd(t?t0)dtdtd(t?t0)dy(t?t0)?ay(t?t0)?f(t?t0)即满足时不变性f(t-t0)→y(t-t0) dty(t)?y(t?t0)f(t)?f(t??t)?所以?t?tlimf(t)?f(t??t)limy(t)?f(t?t0)既有 f(t)?y(t) ??t?0?t?0?t?t1.7 若有线性时不变系统的方程为y(t)+ay(t)=f(t)在非零f(t)作用下其响应y(t)=1-e-t,试求方程y(t)+ay(t)=2f(t)+f(t)的响应。
解：因为f(t)→y(t)=1-e-t,又线性关系，则2f(t)→2y(t)=2(1-e-t) 又线性系统的微分特性，有f(t)→y(t)=e-t 故响应2f(t)+f(t)→y(t)=2(1-e-t)+e-t=2-e-t计算：2.1设有如下函数f( t )，试分别画出它们的波形。
(a) f( t ) =2?( t ?1 ) ? 2?( t ?2 ) (b) f( t ) = sin?t[?( t ) ? ?( t ?6 )]2-2 试用阶跃函数的组合表示题2-4图所示信号。
解(a) f( t )= ?( t ) ? 2?( t ?1 ) + ?( t ?2 )(b) f( t ) = ?( t ) + 2?( t ?t ) +3?( t ?2t )2-5 设有题2-6图示信号f( t )，对(a)写出f? ( t )的表达式，对(b)写出f? ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。
解 (a)1,20?t?2f? ( t ) = ?( t ? 2 )， t = 2?2?( t ? 4 )， t = 4 (b) f? ( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) ? 2?( t ? 3 ) + 2?( t ? 4 )2.6.化简下列信号：(a)f(t)?(t?3)?f(3)?(t?3);(b)?(t)?sint??(t)??(t)(c)2e?2t??t??2??t?;(d)cost???t????t?2-7 试计算下列结果。
(1) t?( t ? 1 ) (2) ?cos(?t?)?(t)dt (3)0?3??0?0?e?3t?(?t)dt (4)????t?(t?1)dt (5)????t?( t ? 1 )dt (6)??t?122?t???t?3?dt(7) 2?????d???tcos(?t?)?(t)dt?cos(?)?(t)dt?解 (1) t?( t ? 1 ) = ?( t ? 1 ) (2)? ?0?0?332??0?0?0??3t?3t(3)?e?(?t)dt??e?(t)dt???(t)dt?1 (4) ?t?(t?1)dt???(t?1)dt?1?0?0?0?????(5)????t?( t ? 1 )dt=?????( t ? 1 )dt=1 (6)=0(7)=2??t?3-1如图2-1所示系统，试以uc( t )为输出列出其微分方程。
解由图示，有ucdu1t?cc又il??(us?uc)dt故l0rdtu?1??从而得 (us?uc)?c?cuclr111??(t)??(t)?ucucuc(t)?us(t)rclclcil?3-3 设有二阶系统方程y??(t)?4y?(t)?4y(t)?0在某起始状态下的0+起始值为y(0?)?1,y?(0?)?2试求零输入响应。
解由特征方程?2 + 4? + 4 =0得 ?1 = ?2 = ?2则零输入响应形式为yzi(t)?(a1?a2t)e由于yzi( 0+ ) = a1 = 1 ?2a1 + a2 = 2所以a2 = 4故有yzi(t)?(1?4t)e?2t?2t,t?03-4 如题2-7图一阶系统，对(a)求冲激响应i和ul，对(b)求冲激响应uc和ic，并画出它们的波形。
解由图(a)有didir1?us(t)?ri即?i?us(t)当us( t ) = ?( t )，则冲激响应 dtdtllrr1?ltdir?lth(t)?i(t)?e??(t)则电压冲激响应h(t)?ul(t)?l??(t)?e??(t)ldtll对于图(b)rc电路，有方程cducu11???is?c即ucuc?is当is = ?( t )时，则dtrrccttduc1?rc1?rch(t)?uc(t)?e??(t)同时，电流ic?c??(t)?e??(t)dtrcc3-5 设有一阶系统方程y?(t)?3y(t)?f?(t)?f(t)试求其冲激响应h( t )和阶跃响应s( t )。
解因方程的特征根? = ?3，故有x1(t)?e?3t??(t)当h( t ) = ?( t )时，则冲激响应h(t)?x1(t)?[??(t)??(t)]??(t)?2e?3t??(t)阶跃响应t1s(t)??h(?)d??(1?2e?3t)?(t)033.6lti系统的冲激响应如图(a),若输入信号f(t)如图（b)所示三角波，求零状态响应？本题用图形扫描计算卷积即y(t)?h(t)?f(t)?0(t?0),??d?,(0?t?1),01?1t?22?d???(2??)d?,(2?t?3),??d???(2??)d?,(1?t?2),1121t12121212(2??)d?,(3?t?4),0,(t?4)?0,t,?1?2t?t,?1?2t?t,8?4t?t,0?t ?222223.10算子法求下列系统的冲激响应h(t)。
(a)y??(t)?3y?(t)?2y(t)?5f?(t)?7f(t)(b)y?t??2y?t??y?t??2f?t??3f ?t?解：(a)系统的算子方程(p2?3p?2)y(t)?(5p?7)f(t)从而h(p)?从而h(t)?(5p?723??p2?3p?2p?1p?223?)?(t)?2e?t?3e?2t,t?0(b)(p2?2p?1)y(t)?(2p?3)f(t)，p?1p?22p?31212h(p)?2??从而h(t)?【?】?(t)?te?t?2e?t,t?022p?2p?1（p?1）p?1（p?1）p?13-11 试求下列卷积。
(a) ?( t + 3 ) * ?( t ? 5 )(b) ?( t ) * 2(c)te?t??( t ) * ?? ( t ) 解 (a) 按定义?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =?????( ? + 3 ) = 0；?(??3)?(t???5)d?考虑到? ?3时，? t ?5时，?( t ?? ? 5 ) = 0，故?( t + 3 ) * ?( t ? 5 ) =?t?5?3d??t?2,t?2(b) 由?( t )的特点，故?( t ) * 2 = 2 (c) te?t??( t ) * ?? ( t ) = [te?t?( t )]? = ( e?t ? te?t )?( t )3-12 对图示信号，求f1( t ) * f2( t )。
解 (a)先借用阶跃信号表示f1( t )和f2( t )，即f1( t ) = 2?( t ) ? 2?( t ? 1 ) f2( t ) = ?( t ) ? ?( t ? 2 )故f1( t ) * f2( t ) = [2?( t ) ? 2?( t ? 1 )] * [?( t ) ? ?( t ? 2 )] 因为t?( t ) * ?( t ) =?1d?= t?( t )故有f1( t ) * f2( t ) = 2t?( t ) ? 2( t ? 1 )?( t ? 1 ) ?2( t ? 2 )?( t ? 2 ) + 2( t ? 3 )?( t ? 3 )(b)根据? ( t )的特点，则f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) *[? ( t ) + ? ( t ? 2 ) + ? ( t + 2 )]= f1( t ) + f1( t ? 2 ) + f1( t + 2 )3-13 试求下列卷积。
(a) (1?e?2t)?(t)???(t)??(t) (b) e?3t?(t)?d?t[e?(t)]解(a)因为??(t)??(t)???(t)??(t)，故 dt(1?e?2t)?(t)???(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)??(t)?(1?e?2t)?(t)(b)因为e?t?(t)??(t)，故e?3t?(t)?d?t[e?(t)]?e?3t?(t)???(t)??(t)?3e?3t dt3-14 设有二阶系统方程y??(t)?3y?(t)?2y(t)?4??(t)试求零状态响应解因系统的特征方程为?2 + 3? + 2 =0解得特征根?1 = ?1， ?2 = ?2 故特征函数x2(t)?e?1t?e?2t?(e?t?e?2t)?(t)零状态响应y(t)?4??(t)?x2(t)?4??(t)?(e?t?e?2t)?(t)=(8e?2t?4e?t)?(t) 3-15 如图系统，已知h1(t)??(t?1),h2(t)??(t)试求系统的冲激响应h( t )。