Y ( jω ) = F ( jω ) H ( jω ) = 10π [δ (ω + 100) + δ (ω − 100)] Y ( jω ) 的图形如图题 4-9（d）所示。所以： y (t ) = 10 cos 100t , t∈R
4-10 在图题 4-10(a)所示系统中， H ( jω ) 为理想低通滤波器的传输函数，其图形
且
ω 0 >> ω m ，
理想低通滤波器的
，如图题 4-11(b)所示。求响应 y (t ) 。
解： 所示。
F ( jω ) = 2π [δ (ω + ω m ) + δ (ω − ω m )]
， F ( jω ) 的图形如图题 4-1δ (ω + ω 0 ) + δ (ω − ω 0 )]
图形如图题 4-10（e）所示。
1 G 2 (ω ) 2
Y ( j ω ) = H ( jω ) X ( jω ) = 1 Sa (t ) 2π
所以： 4-11
y (t ) =
在图题 4-11(a)所示系统中，已知
f (t ) = 2 cos ω m t , − ∞ < t < ∞, x (t ) = 50 cos ω 0 t , − ∞ < t < ∞, H ( jω ) = G 2ω0 (ω )
2
H ( jω ) =
4-5
已知频域系统函数
y (0) = 2 , y ′(0) = 1 ，激励 f (t ) = e − tU (t ) 。求全响应 y (t ) 。
解：（1）求零输入响应：由系统函数可知系统的自然频率为：-2 和-3 。
−2 t −3t 所以： y x (t ) = Ae + Be
又：
x (t ) = f (t ) s (t ) =
1 1 f 0 (t ) + f 0 (t ) cos 2000t 2 2
X ( jω ) =
1 1 1 F0 ( jω ) + • F0 ( jω ) ∗ π [δ (ω + 2000) + δ (ω − 2000)] 2 2 2π
所以： X ( jω )
t>0
4-6
1 h(t ) = f ( t ) πt ， 在图题 4-6 所示系统中， 为已知的激励， 求零状态响应 y (t ) 。
解：
F [ h(t )] = H ( jω ) =
1
π
[ − jπ sgn(ω )] = − j sgn(ω )
Y ( jω ) = F ( jω ) H ( jω ) H ( jω ) = F ( jω )[ − sgn(ω ) sgn(ω )] = − F ( jω ) y (t ) = − f (t )
又： f1 (t ) = f (t ) s (t ) ，所以：
F1 ( jω ) = 1 1 1 F ( jω ) ∗ S ( jω ) = G 4 (ω + 1000) + G 4 (ω − 1000) 2π 4 4
F1 ( jω ) 的图形如图题 4-12(d)所示。所以：
Y ( jω ) = F1 ( jω ) H ( jω ) = 1 1 G 2 (ω + 1000) + G 2 (ω − 1000) 4 4
，求输入为下列各信号时
的响应 y (t ) 。
sin 4πt πt 。
(1)
f (t ) = Sa (πt );
( 2)
f (t ) =
解：（1）因有：
G 2π (t ) ⇔ 2πSa (πω ) G 2π (ω ) ⇔ Sa (πt )
Gτ (t ) ⇔ τSa (
ωτ
2
)
所以：
F ( jω ) = G 2π (ω ) Y ( jω ) = F ( jω ) H ( jω ) = G 2π (ω )G 2π (ω ) = G 2π (ω )
H ( jω ) =
4-1 求图题 4-1 所示电路的频域系统函数
U 2 ( jω ) U 1 ( jω ) 。
解：频域电路如图题 4-1（b)所示。
H ( jω ) =
U 2 ( jω ) = U 1 ( jω )
1 1 − ω 2 LC + jω L R
H 1 ( jω ) = U c ( jω ) I ( jω ) H 2 ( jω ) = F ( jω ) F ( jω ) ,
y (t ) = Sa (πt )
又：
所以：
（2）
f (t ) =
sin 4πt = 4 Sa ( 4πt ) πt
所以： F ( jω ) = G8π (ω )
Y ( jω ) = F ( jω ) H ( jω ) = G8π (ω )G 2π (ω ) = G 2π (ω )
又：
所以：
y (t ) = Sa (πt )
如图题 4-10(b)所示， ϕ (ω ) = 0 ; f (t ) = f 0 (t ) cos 1000t , − ∞ < t < ∞ ,
1
f 0 (t ) =
π
Sa (t ) ;
s (t ) = cos 1000t , − ∞ < t < ∞ 。求响应 y (t ) 。
解：
F ( jω ) =
π
Sa ( 2t ) , − ∞ < t < ∞,
s (t ) = cos 1000t , − ∞ < t < ∞ ， 带通滤波器的 H ( jω ) 如图题 4-12(b)所示，
ϕ (ω ) = 0 。求零状态响应 y (t ) 。
解：
F ( jω ) =
1 G 4 (ω ) 2 ， F ( jω ) 的图形如图题 4-12(c)所示。
代入初始条件得：A=7，B=-5。所以零输入响应
为： y x (t ) = 7e
−2 t
− 5e −3t
（2）求零状态响应：
Y f ( jω ) = H ( j ω ) F ( jω ) = −
1 1 2 3 1 + − 2 jω + 1 jω + 2 2 jω + 3
1 3 y f (t ) = ( − e −t + 2e − 2t − e −3t )U (t ) 2 2 所以： 1 13 y (t ) = y x (t ) + y f (t ) = − e −t + 9e − 2 t − e −3t 2 2 （3）全响应：
F ( jω ) = 4π ∑ δ (ω − 5n)
n = −2 2
F ( jω ) 的图形如图题 4-13(c)所示。
π π
1 j 1 −j Y ( jω ) = H ( jω ) F ( jω ) = 4π [ e 2 δ (ω + 5) + δ (ω ) + e 2 δ (ω − 5)] 2 2
1 jω + 3
F ( jω ) =
H ( jω ) = 1 +
jω + 3 ( jω + 1)( jω + 2)
Y ( j ω ) = H ( jω ) F ( jω ) =
1 1 1 + − jω + 3 jω + 1 jω + 2
所以
y (t ) = (e −3t + e − t − e −2t )U (t ) jω − ω + j 5ω + 6 ，系统的初始状态
所以：
(ω − ω 0 )τ 1 1 (ω + ω 0 )τ F ( jω ) ∗ F1 ( jω ) = Aτ Sa[ + Sa[ ] 2π 2 2 2
又： y(t ) = x(t ) f 2 (t ) 所以： 4-8 理想低通滤波器的传输函数
H ( jω ) = G 2π (ω )
所以
1 i (t ) = ( −5.5e − 2t + 5e −t )U (t ) + U (t ) A 2
− ω 2 + jω + 5 H ( jω ) = − ω 2 + j 3ω + 2 ，激励 f (t ) = e −3tU (t ) 。求零状态 4-4 已知频域系统函数
响应 y (t ) 。
所以：
4-7
图题 4-7(a)所示系统，已知信号 f (t ) 如图题 4-7(b)所示， f1 (t ) = cos ω 0 t ，
f 2 (t ) = cos 2ω 0 t
。求响应 y (t ) 的频谱函数 Y ( jω ) 。
解：
x(t ) = f (t ) f1 (t )
X ( jω ) =
4-9
2 4 图题 4-9 所示为信号处理系统，已知 f (t ) = 20 cos 100t cos 10 t ，理想
低通滤波器的传输函数
H ( jω ) = G 240 (ω )
。求零状态响应 y (t ) 。
解：
H ( jω ) 的图形如图题 4-9（b）所示。
f (t ) = 20 cos 100t cos 2 10 4 t = 10 cos 100t + 5 cos 20100t + 5 cos 19900t
激响应 h(t ) 和零状态响应 i (t ) 。
解：
频域电路如图题 4-3(b)所示。
I ( jω ) 1 1 = × F ( jω ) 2 jω + 2
1 − 2t e U (t ) A 2
H ( jω ) =
所以
h (t ) =
I ( jω ) = H ( jω ) F ( jω ) =