这个性质叫 分布的可加性.
2
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3.若 ~ (n),
2 2
2 则 E( )=n, D( )=2n
2
证明：
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定义2 称满足条件
的点
为
分位点。
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2、t 分布 2 定义: 设X～N(0,1) , Y～ ( n ) , 且X与Y相互 独立，则称变量 X T Y n 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. 记为T～t(n).

2
2
F
Y n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第 一自由度，n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) .
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X的数学期望为:
n2 E( X ) n2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
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0.8 0.6 0.4 0.2
2 1 2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值，S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
S12 12 ~ F ( n1 1, n2 1) 2 2 S2 2
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第六章 参数估计
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关键词
• 矩估计量、最大似然估计量、似然函数
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性质2 证明：
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又
所以
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几个重要的抽样分布定理
定理 1 (样本均值的分布) 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , ) 的样本，则有
2
X ~ N ( , ) n X ~ N (0,1) n
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§3 、估计量的评选标准
1．无偏性
估计量是随机变量，对于不同的样本值会得 到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值 附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这 就导致无偏性这个标准 .
ˆ( X , , X )是未知参数 的估计量，若 设 1 n
则有
X Y ( 1 2 )
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 n1 n2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
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定理 5 (两总体样本方差比的分布)
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
I ( ) 的种种性质显示，” I ( ) 越大 ”可被解
定理4 (Cramer - Rao 不等式)
设正则条件满足， X 1，X 2， , X n 是来自该总体 的样本，T T ( X 1 , X 2 , , X n )是g( )的任一个无偏 g( ) 估计，g( ) 存在，且对 ，对 n g ( ) T (x1 ,x2 , , xn ) p(xi ; θ )dx1 dxn
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3、相合性 （一致估计）
定义1、设总体 X 具有概率函数
为未知参数。 f ( x ; ),
n n x1 , , xn
若对
^
^
为
的一个估计量，n 为样本容量。
p
0 ,有
^ ^ lim P n 0 , 即 n , n n ^ 则称 为 的相合估计量或一致估计。 n
~ ( n 1)
2
X和S 相互独立.
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n取不同值时
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(n 1) S
2
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2
的分布
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定理 3
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , )
2
的样本, X和S 2 分别为样本均值和样本方差, 则有
X ~ t ( n 1) S n
x
当n充分大时，其图形类似于标准正态分 布密度函数的图形.
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例3设
是取自正态总体
的简单随机样本，
且 则 时，统计量 服从 分布复习
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3、F分布
定义: 设 X ~ ( n1 ), Y ~ ( n2 ),X与Y相互 独立，则称统计量 X n1
• 估计量的评选标准：无偏性、有效性、 相合性、均方误差、一致最小方差无偏 估计、Fish信息量，Cramer-Rao不等式 • 置信度、置信区间
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基本要求
1、掌握点估计、最大似然估计的概念。 2、能够熟练求出样本值的矩估计量、最大似 然估计量 3、熟练掌握区间估计的概念，会求正态总体 的均值、方差的区间估计 4、了解估计量的评选标准，并能够判断所求 估计量符合哪个标准 5、会求双侧和单侧置信区间
F ( m , n)
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
1 2 3 4 5 6
0.8 0.6 0.4 0.2
m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10
1 2 3 4 5 6
性质1 若，
则 称满足条件 的点 为F分布的 分位点。
E (ˆ )
ˆ 为 的无偏估计 . 则称
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3．有效性
ˆ ˆ (X , , X ) ˆ ˆ (X , , X )和 设 2 2 1 n 1 1 1 n
都是参数 的无偏估计量，若有
ˆ )< D( ˆ) D( 1 2 ˆ 较 ˆ 有效 . 则称 1 2
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矩估计法
用相应的样本矩去估计总体矩的估计方法
记总体k阶矩为 k E ( X )
k
1 n k 样本k阶矩为 Ak X i n i 1 k E [ X E ( X )] 记总体k阶中心矩为 k 1 n k 样本k阶中心矩为 Bk ( X i X ) n i 1
2
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n
样本方差
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它反映了总体k 阶矩 的信息
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
1 k Ak X i n i 1 n 1 k Bk ( X i X ) n i 1
k=1,2,…
n
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注：一般地，
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定义1
为来自总体X的一
个样本，
是
的函数，若g连续且不含
任何未知参数，则称
是一个统计量。
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几个常见统计量
它反映了总体均值 的信息
样本均值
它反映了总体方差 的信息
1 n X Xi n i 1 1 2 S ( Xi X ) n 1 i 1
i 1
n g ( ) T (x1 ,x2 , , xn ) p(xi ; θ ) dx1 dxn i 1 n n ln p(xi ; θ ) p(xi ; θ )dx1 dxn T (x1,x2 , , xn ) i 1 i 1 对离散总体，积分改为 求和等式成立 .
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求极大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合概率函数 (或联合密度); (2) 把样本联合概率函数(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( ); (3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入 就得参数的极大似然估计值 .
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定理 4 (两总体样本均值差的分布)
设X ~ N ( 1 , 2 )，Y ~ N ( 2 , 2 )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的 样本
2 均值, S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
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0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1
-3
-2
-1
1
2
3
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具有自由度为n的t分布的随机变量T的数 学期望和方差为:
E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n >2 t分布的密度函数关于x=0对称，且
Lim f ( x; n ) 0
2
1. 设 X 1 , X 2 ,, X n 相互独立, 都服从正态分布 2 N ( , ), 则
n 1 2 2 ( X i )2 ~ 2 (n) i 1
2. 设 X 1 ~ 2 ( n1 ), X 2 ~ 2 ( n2 ), 且X1,X2相互 独立，则 X 1 X 2 ~ 2 ( n1 n2 )