第十一讲二项式定理课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀本章主要内容：1•二项式定理的定义；2•二项式定理的通项公式；3•二项式定理的应用•本章教学目标：1•能用计数原理证明二项式定理（重点）；2•能记住二项式定理和二项展开式的通项公式（重点）；3•能解决与二项式定理有关的简单问题（重点、难点）•课外拓展 __________________________________________________________________________________________杨辉三角历史北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。
故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士•帕斯卡的著作Trait e du triangle arithm e tique （1655年）介绍了这个三角形。
帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708年）和亚伯拉罕•棣•美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）。
同与例題牆讲【知识与方法】一•二项式定理的定义在（a b）^（a ]b）（a「b）；：（a「b）中，每个括号都能拿出a或b，所以每个括号有2种选择，n个括号n个就是2n种情况.a2b n J这一项，表达的意思是________________________________ ；所以，a2b n"共有____________ 个.例如：(x y)7中x3y4表示的就是，有3个括号拿x，剩下的4个括号拿y，所以x3y4共有C C：项, 即C；项.(a+ b)n的二项展开式本来共有_________ 项，合并之后共有_______ 项，其中各项的系数_________________ 叫做二项式系数.二•二项展开式的通项(a+ b)n的二项展开式的通项公式为_____________ ..注意：1.T r 1与C；的关系，例如第5项，应该是C4 ；2•二项式的展开式是按照前项降幕排列，例如(x 1)10与(1 X)10中的第4项是不同的；3. a的指数从n逐项减到0，是降幕排列。
b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。
各项的次数和等于n ;4•注意正确区分二项式系数与项的系数.三.二项式系数的基本性质四•展开式的二项式系数和i.(a+ b)n展开式的各二项式系数和：c n+ c n+ C2+…+ c n= ___________ .2•偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即c n+c n+ c4+…=c1+ c3+c n+…=五•展开式的系数和若f(x) = a o + a i x+ a2X2+…+ a n x n，则f(x)展开式中各项系数之和为 __________ ，奇数项系数之和为a°+ a2f (1) +f (T)，偶数项系数之和为a i+ a3 + a5+…= .+ a4 +…=2【例题与变式】题型一通项公式及其应用类型一二项式定理的原理应用【例1】(2015全国卷I )(x2+ x+ y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A . 10 B. 20 c. 30 D . 60【例2】（2018?滨州二模）（x2—2x—3）5的展开式中，x的系数为_________ .1【变式1】（2018?濮阳一模）（x+r^+l）8的展开式中，x3的系数为______________ .x【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式（1」_2x）4，则展开式的常数项为（）xA . -1 B. 1 C. -47 D . 49类型二单括号型2【例4】（2018?内江三模）（x_勺4展开式中的常数项为（）xA . 6B . -6C . 24D . -24【例5】设（x—J2）n展开式中，第二项与第四项的系数之比为*则含x2的项是____________ .3【例6】（2018?成都模拟）若（x—a）6的展开式中含x空项的系数为160,则实数a的值为（）J xD. -2, 2n的最小值等于（D. 6【变式3】（2018?河北区二模）二项式（X-?）6的展开式的第二项为（）x4 4 4 4A. 6x B . —6x C . 12x D. —12x【变式4】(2018?四川模拟)(x- 1 )6展开式中的常数项为( )、xA . -20B . -15C . 15 D. 20【变式5】（2016全国卷I ）（2x+jx）5的展开式中，x3的系数是 _________ .（用数字填写答案）_ _ 1【变式6】（2018?上海二模）（x+b n的展开式中的第3项为常数项，则正整数n= ______ .x【变式7】（2018?普陀区二模）若（x3 - !）n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为x类型三双括号型【例8】（2018?肇庆三模）已知（1 -ax）（1 x）5的展开式中x2的系数为5, 则a=( )A . 1B.2 C . -1D. -2【例9】（2018?信阳二模）(x21)( 1 -2)5x的展开式的常数项是（）A . 5B.-10 C . -32D. -42C . 2.2【例B . -27】（2017东北四校联考A . 3 n的展开式中含有常数项，则正整数【例10】（2018?泉州模拟）（X—1）4（1+丄）4的展开式中，常数项是____________ .X【例11】（X—1）3（1+丄）4的展开式中，常数项是_______ .X【变式8】（2018 ?枣庄二模）若（x2 _a）（x+丄）10的展开式x6的系数为30 ,则a等于（）x1 1A . - B. - C. 1 D . 23 2【变式9】（2018 ?咸阳二模）（x +y）（x _y）8的展开式中，x2y7的系数为 _________________ .【变式10】（1 + 2x）3（1 - x）4展开式中x项的系数为_____ .题型二展开式中的二项式系数【例1】（2018?广州一模）已知二项式（2x2 -丄）“的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含-项x x 的系数是（）A . -84 B. -14 C . 14 D . 84【例2】（2018?綦江区模拟）二项式（2、、x - a）n的展开式中所有二项式系数和为64,则展开式中的常数项为-160，贝U a= ______ .【变式1】（2018?宝山区一模）在（寿「x）n的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为1024 ,x则常数项的值等于____________ .【例3】（2018?唐山一模）（2x-1）6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是____________________ .【例4】（2018 ?马鞍山二模）二项式（3x 31）n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A . 3B . 5C . 6 D. 7【变式2】（2018?湖北模拟）在（3、x -勻“的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则二项展开式x常数项等于________ ._ _ 1【变式3】（2018?芜湖模拟）已知（1 2x）n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则（V -^）（1 2x）n展x开式中常数项为_________ .【变式4】（a+b）n二项展开式中，二项式系数最大项为第7项和第8项，则n= ________ .题型三展开式中的系数【例1】（2018?石家庄二模）已知（1 x）n的展开式各项系数之和为256，则展开式中含x2项的系数为________ .【变式3】(2018?河西区三模)设(x—2)5 =a0+a"x 十1)+a2(x+1)2+…+a5(x+1)5，则【例2】（2018?朝阳三模）在二项式（、&+^）n的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为 B ,x且A+B=72，则展开式中常数项的值为（）A.6 B . 9C.12D. 18【例3】（x a）（2x 一1）5的展开式中各项系数的和为x x2, 则该展开式中的常数项为（) A.-40 B . -20C.20D. 40【例4】（2015?新课标n）（a x）（1 x）4的展开式中x的奇数次幕项的系数之和为32,则a=【例5】已知(1 —2x)7= a o+ a i x+ a2x2+ …+ a7x7.求：(1)a i + a2+ …+ a7；(2) a i + a3 + a5+ a7；(3) a o + a2 + a4+ a6；⑷a0 1a^ |a^ a7 .【例6】(2018?湖南三模)若(1 - x)(1 -2x)8 = a0 - 亠亠a9x9, x€ R,则a1 2 - a2吩亠亠a9 29的值为( )9B . 2 -1C . 39D. 39-1【变式1】（2018?赣州一模）若（x2 +2+2）n展开式中各项系数之和为x64,则展开式中的常数项是（A. 10B. 20 D . 40【变式2】（2018 ?烟台模拟）已知（x3+2）n的展开式的各项系数和为x243,则展开式中x7的系数为（B . 40 C. 20 D. 10A . 422. (2015?大连模拟)（2 —.x）8的展开式中不含C . 28x4项的系数的和为（A . -1D. 21)D. 2a1 +a2+ …+a5 = ________B . 353. （2015?南昌质检）在（|_3L）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A . -7B . 7C . -28D . 284. （2014?石家庄二模）设（x2+ 1）（x+ 1）9= a o+ a i（x+ 2）+ a2（x + 2）2+…+ a ii（x+ 2）11，则a i + a2+…+ a ii = （）A . 5B . 4C . 3D . 25. （2015?安徽）（x3+’）7的展开式中x5的系数是________ .（用数字填写答案）x6. （2015?温州十校联考）已知（1 +x+x2）（x+」y）n（n€ N*）的展开式中没有常数项，且2令＜8则n = .x本讲总结1•实际完成情况：□按计划完成；□超额完成，原因分析 ________________________________________________________________________________ □未完成计划内容，原因分析 __________________________________________________________________________ 2•授课及学员问题总结：。