单位冲激信号(t)与一个在t=0点连续（且处处有界）的
信号f(t)相乘，则其乘积仅在t=0处得到f(0)(t),其余各点之
乘积均为零。
f (t)
(t)f(t)dt (t)f(0)dt
f (0)
f(0) (t)dt f(0)
R (t)
o
t
6.单位阶跃信号
图1.7单位阶跃信号 单位阶跃函数是对某些物理对象从一个状态瞬间突变到
另一个状态的描述。如图1.7（a）所示，在t=0时刻对 某一电路接入1V的直流电压源，并且无限持续下去。
这个电路获得电压信号的过程就可以用单位阶跃函数
来描述。如果接入电源的时间推迟到t=t0 时刻（t0>0）， 如图1.8（a）所示，其波形如图1.8（b）所示。
2正弦信号： f(t)K siw n (t)
（对时间的微、积分仍是同频率正弦）
f (t)
K
正弦信号是周期信号，其周期T与角 频率w 和频率f满足下列关系式：
1 0 1
t T 2 1
T
w f f (t)
e e 欧拉公式sin(t)
1 2j
jt
jt
K
e e cos(t)12
jt
jt
0
K
衰减的正弦信号 t
(E)
特点：
0
t0
t
1 对称性：冲激函数是偶函数
2 时域压扩性： (at) 1 (t) (a0)
a
3 ☆抽样特性：
f(t)(tt0)d tf(t0)
❖ 冲激函数可有不同的定义方式： ❖ （１）由矩形脉冲演变为冲激函数。 ❖ （２）由三角形脉冲演变为冲激函数。 ❖ （３）还可利用指数函数、钟形函数、抽样
t
（2）Sa(t)信号（抽样信号）演变为冲激函数
(t)lki m0k Sa(kt)
f (t) k
k
k
0
t
t
K越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快， 衰减越迅速。曲线下的净面积保持１。当k时，得到 冲激函数。
（2）冲激函数的性质（冲激信号具有下面一些重要性质）
（a)抽样特性（筛选特性）
Ket (cost jsint)
Ket cost j Ket sint
复指数信号与正余 弦信号之间的关系
可见，复指数信号的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦振荡。当
σ>0（σ<0）时，其实部和虚部的振幅按指数规律增长（衰减）。当σ=0时，
复指数信号变为虚指数信号
x(t)=k［cos(ωt)+jsin(ωt)］
信号波形如图1.4所示。
❖
图1.4复指数信号虚部的波形
复指数信号est是连续信号与系统的复频域分析中使用 的基本信号。其中复频率s中的实部σ绝对值的大小反 映了信号增长或衰减的速率，虚部ω的大小反映了信
号振荡的频率。 ❖ 指数信号的重要性在于对它的微积分结果仍然是同幂
的指数信号。
K为振幅
w为角频率 为初相角
函数、狄拉克(Dirac)函数等
狄拉克（Dirac)给出函数定义 （非常规的定义方法）
设冲激信号有一个总的冲激强度，它在整个时间域上的积分等于
该强度值，而在除冲激点之外的其他点的函数取值为零。 (t)
(t)dt1
(t) 0 (当t 0)
0
t
描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义(t-t0)函数：
3.抽样信号 Sa(t) sint t
Sa(t)具有以下性质： t ,L ,n时，Sa(t) 0;
Sa(0) 1;
Sa(t)dt ;
Sa(t)dt
0
2
特点：(1) Sa函数是偶数
(2) 过零区间宽度除原点
附近的过零区间为2pi 外，其
他过零区间宽度为pi
与Sa(t)函数类似的有sinc(t)
Hale Waihona Puke 图1.8延迟t0的单位阶跃信号
典型信号
❖ 7 单位矩形脉冲信号 G(t)： G (t)
1
G(t)
1, 0,
t /2 t /2
脉高：矩形脉冲的高度
-/2
0 /2
t
脉宽：矩形脉冲的宽度
信号四则运算
G ( t) u t /2 u t /2
❖ 8符号函数Sgn(t)：
1, t 0 Sg(nt)1, t 0
(t t0)
(t
(t
t0)dt1
t0)0 (当t t0)
1
0 t0 t
（１）矩形脉冲演变为冲激函数
❖ 宽度为，高为1/的矩形脉冲，当保持矩形脉冲 面积＝１不变，而使脉宽趋近于零时，脉冲幅度 1/必趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。
(t)l i0m 1[u(t2)u(t2)]
f (t) 1
0
❖ 单位冲激函数：记作(t),又称为“函数”。
(t )
冲激函数的表示：在冲激点处画一条带箭 头的线，线的方向和长度与冲激强度的 符号和大小一致。
表明，(t)只在t=0点有一“冲激”，在
0
t t=0点以外各处，函数值都是零。
冲激点在t0、强度为E的冲激信号
E ,t0 (t) E(t t0 )
1.3典型连续信号
1.指数信号
指数信号的一般数学表达式为x(t)=kest
根据s的不同取值，可以分如下两种情况讨论。
x(t)=keσt
正号
信号随时间按 指数规律增长
❖ （1）s=σ，此时为实指数信号，即 参数σ符号
0
指数信号变成恒定 不变的直流信号
负号
信号随时间按 指数规律衰减
绝对值
大 变化速度快
小 变化速度慢
函数：
s inc(t)s
in(t) t
此时t与Sa(t)中差一，两符号通用。
典型信号
❖ 4 高斯信号：
f (t) K
f(t)Ket/2
0
t
特点：
(1) 形状象一口钟，故有时也称钟形脉冲信号 (2) 在随机信号分析中有重要地位
典型信号
5.单位斜变信号R(t)：
0, t 0 R(t) t, t 0
用以表示自变量的符号特性
典型信号
Sgn(t) 1
0 t
-1
Sgn(t) + 1 = 2u(t)
Sgn(t) = 2u(t) - 1
1.4 单位冲激信号δ及其性质
❖ 某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的 函数模型来描述。
❖ （引入原因：描述自然界中那些发生后持续时间很 短的现象）
❖ 例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电 闪，数字通信中的抽样脉冲……等等。
图1.3用MATLAB绘制的实指数信号波形
微分或积分后还是指数信号
典型连续信号
（2）复指数信号
❖ s=σ+jω，此时为复指数信号，利用 欧 欧拉公式：
拉公式，可以进一步表示为
f (t) Kest Ke( j)t Ket e jt
eej jttccoo ssttjjssiinn tt csion stteejj tt 22jeejj tt