信号与线性系统题解 阎鸿森 第二章 习题答案2.1 (1) 已知连续时间信号()x t 如图P2.1(a)所示。

试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

(a) (2)x t - (b) (1)x t - (c) (22)x t +(2) 根据图P2.1(b)所示的信号()h t ，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

(a) (3)h t + (b) (2)2t h - (c) (12)h t -(3) 根据图P2.1(a)和(b)所示的()x t 和()h t ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。

(a) ()()x t h t - (b) (1)(1)x t h t -- (c) (2)(4)2t x h t -+图P2.1 解：(1) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)12(2)x t -(1)x t -(22)x t +ttt22221111121001-1-1-2-2-35(2) 各信号波形如下图所示：(a)(b)(c)1212-32(3)h t +(2)2t h -(12)h t -t tt00111124681-2-3-4-5-(3) 各信号波形如下图所示：()()x t h t -(1)(1)x t h t --(2)2t x -(a)(b)(c)ttt∴(2/2)(4)0x t h t -+=00111112222221-1-462-2.2 已知信号(52)x t -的波形图如图P2.2所示，试画出()x t 的波形图，并加以标注。

(52)x t -t32521123图P2.2解：波形如下图所示：3252(52)x t -(5)x t -(5)x t +()x t tttt0001111111222334561-2-3-4-5-6-2.3 (1) 已知离散时间信号()x n 如图P2.3(a)所示，试画出下列各信号的波形图，并加以标注。

(a) (4)x n - (b) (21)x n +(c) (),ˆ()30,n x n x n n⎧⎪=⎨⎪⎩其他(2) 对图P2.3(b)所示的信号()h n ，试画出下列个信号的波形，并加以标注。

(a) (2)h n - (b) (2)h n +(c) (2)(1)h n h n ++--(3) 根据图P2.3(a)和(b)所示的()x n 和()h n ，画出下列各信号的波形图，并加以标注。

(a) (2)(12)x n h n +- (b) (1)(4)x n h n -+ (c) (1)(3)x n h n --()x n n()h n n1212-3232-12(a)(b)4-1-1-1-2-0011122334421图P2.3 解：(1) 各信号波形图如下图所示：(4)x n -n(a)1/22-1-01123456(21)xn +ˆ()xn nn(b)(c)2-1-1-0011112233(2) 各信号波形图如下图所示：(2)(1)h n h n ++--n1/2(c)6-5-4-3-2-2-2-1-0123(3) 各信号波形如下图所示：(2)(12)x n h n +-(1)(4)x n h n -+(a)(b)nn1/21/2-3/23/21/43/4-1-1-001112232(1)(3)x n h n --(c)n1/21/2-3/2-1-1-012345672.4 画出图P2.4所给各信号的奇部和偶部。

()x t t()x t t(a)(b)00112112-1-图P2.4 解：(a)1212{}()d x t O tt12-1-1-2-2-01122{}()u E x t(b){}()d x t O tt12122-2-1-1-00112212-1{}()u E x t(c)()e x n ()o x n nn4-3-2-2-1-1-0011223344111-(d)1/23/21/21/2-1/2-1/2-1/2-1/2-3/21/21/21/23/2-()o x n ()e x n nn3-2-1-0011232.5 已知()x n 如图P2.5所示，设：12()(2)(/2),()0,y n x n x n n y n n =⎧=⎨⎩偶奇画出1()y n 和2()y n 的波形图。

()x n n4-1-0112234图P2.5 解：2.6 判断下列说法是否正确？如果正确，则求出每个信号基波周期之前的关系，如果不正确，则举出一个反例。

(1) (a) 若()x t 是周期的，则(2)x t 也是周期的。

(b) 若(2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。

(c) 若()x t 是周期的，则(/2)x t 也是周期的。

(d) 若(/2)x t 是周期的，则()x t 也是周期的。

(2) 定义12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ⎧==⎨⎩偶奇(a) 若()x n 是周期的，则1()y n 也是周期的。

(b) 若1()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。

(c) 若()x n 是周期的，则2()y n 也是周期的。

(d) 若2()y n 是周期的，则()x n 也是周期的。

解：(1) (a) 正确。

若()x t 的周期为T ，则(2)x t 的周期为/2T 。

(b) 正确。

若(2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为2T 。

(c) 正确。

若()x t 的周期为T ，则(/2)x t 的周期为2T 。

(d) 正确。

若(/2)x t 的周期为T ，则()x t 的周期为/2T 。

(2) 由12(/2),()(2),()0,x n n y n x n y n n ⎧==⎨⎩偶奇(a) 正确。

设()x n 的周期为N 。

如果N 为偶数，则1()y n 的周期为/2N ；如果N为奇数，则必须有022N N =，才能保证周期性，此时1()y n 的周期为0N N =。

(b) 不正确。

设()()()x n g n h n =+，其中()sin4ng n π=，对所有n ，1,()30,nn h n n ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩奇偶 显然()x n 是非周期的，但1()y n 是周期的。

(c) 正确。

若()x n 的周期为N ，则2()y n 的周期为2N 。

(d) 正确。

若2()y n 的周期为N ，则N 只能是偶数。

()x n 的周期为/2N 。

2.7 判断下列各信号是否是周期信号，如果是周期信号，求出它的基波周期。

(a) ()2cos(3/4)x t t π=+ (b) ()cos(8/72)x n n π=+ (c) (1)()j t x t e π-= (d) (/8)()j n x n e π-=(e) []0()(3)(13)m x n n m n m δδ∞==----∑(f) ()cos 2()x t t u t π=⨯ (g) ()cos(/4)cos(/4)x n n n π=⨯ (h) []()cos2()v x t E t u t π=⨯ (i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+⨯ (j) ()2cos(/4)sin(/8)2sin(/2/6)x n n n n ππππ=+-+ 解：(a) ()2cos(3/4)x t t π=+，周期信号，23T π=。

(b) ()cos(8/72)x n n π=+，周期信号，087πΩ= ，7N ∴=(c) (1)()j t x t eπ-=，周期信号，2T =。

(d) (/8)()j n x n e π-=，非周期信号，因为0/2πΩ是无理数。

(e) []()(3)(13)m x n n m n m δδ∞=-∞=----∑，设周期为N ，则有[]()(3)(13)m x n N n N m n N m δδ∞=-∞+=+--+--∑，令3N k =，（k 为整数） 则()()(3)3()13()m x n k n m k n m k δδ∞=-∞+=------⎡⎤⎣⎦∑，令m k l -=则有()()(3)313m x n k n l n lδδ∞=-∞+=----⎡⎤⎣⎦∑ 显然，()x n 是周期信号，其周期为3N =。

(f) ()cos 2()x t t u t π=⨯，非周期信号。

(g) cos4n是非周期的，∴()x n 是非周期信号。

(h) [][]1()cos 2()(cos 2)()(cos 2)()2v x t E t u t t u t t u t πππ=⨯=⨯+⨯-，周期的，周期1T =。

(i) []()cos(2/4)()v x t E t u t ππ=+⨯，非周期信号。

(j) ()x n 是周期信号，其周期就是cos sin 48n n ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、和sin 26n ππ⎛⎫+⎪⎝⎭的公共周期。

∴ 周期为16N =。

2.8 (a) 设()x t 和()y t 都是周期信号，其基波周期分别为1T 和2T 。

在什么条件下，和式()()x t y t +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？(b) 设()x n 和()y n 都是周期信号，其基波周期分别为1N 和2N 。

在什么条件下，和式()()x n y n +是周期的？如果该信号是周期的，它的基波周期是什么？解： (a) ()x t ，()y t 是周期的，1()()x t kT x t +=，2()()y t kT y t += 令()()()f t x t y t =+，欲使()f t 是周期的，必须有 000()()()()()()s t T x t T y t T x t y t f t +=+++=+= 012T kT lT ∴== 即12T lT k=，其中,k l 为整数。

这表明：只要()x t 和()y t 的周期之比12T T 是有理数，()()x t y t +就一定是周期的。

其基波周期0T 是12,T T 的最小公倍数。

(b) ()x n 和()y n 是周期的，12()(),()()x n N x n y n N y n +=+= 令()()()f n x n y n =+，欲使()f n 是周期的，必须有 012N kN mN == （,k m 为整数）即''11121''22122gcd(,)gcd(,)N N N N N m N k N N N N ==='1N 与'2N 无公因子， ''12,m N k N ∴=='0211212/gcd(,)N N N N N N N ==2.9 画出下列各信号的波形图：(a) ()(2)()t x t e u t -=- (b) []()cos10(1)(2)t x t e t u t u t π-=--- (c) 2()(9)x t u t =- (d) 2()(4)x t t δ=- 解：各信号波形如下图所示：图PS2.92.10 已知信号()()()sin x t t u t u t π=⨯--⎡⎤⎣⎦，求：(a) 212()()()d x t x t x t dt=+ (b) 2()()t x t x d ττ-∞=⎰解： ()()()sin x t t u t u t π=⨯--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()cos sin cos dx t t u t u t t t t dt t u t u t πδδππ=⨯--+⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=⨯--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()()22()sin cos sin cos 0cos sin d x t t u t u t t t t dtt u t u t t t t u t u t t t πδδππδδπππδδπ=-⨯--+⨯+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-⨯--++-⎡⎤⎣⎦=-⨯--+--⎡⎤⎣⎦∴ (a) 212()()()()()d x t x t x t t t dtδδπ=+=--(b) 200()()1cos 02tt x t x d t t t ττππ-∞≤⎧⎪==-<≤⎨⎪>⎩⎰2.11 计算下列各积分： (a) sin ()2t t dt πδ∞-∞⨯-⎰ (b)(2)t e t dt δ∞--∞⨯+⎰(c) 3(2)(1)t t t dt δ∞-∞++-⎰(d)0()()2t u t t t dt δ∞-∞-⨯-⎰(e) ()e dt τδτ∞--∞⎰(f)121(4)t dt δ--⎰解： (a) sin ()sin 122t t dt ππδ∞-∞⨯-==⎰(b)(2)2(2)t e t dt e e δ∞----∞⨯+==⎰(c) 同(b)，4 (d) 00000()()()()222t t t u t t t dt u t u δ∞-∞-⨯-=-=⎰ (e)0()1e dt e τδτ∞--∞==⎰(f) 02.12 根据本章的讨论，一个系统可能是或者不是：①瞬时的；②时不变的；③线性的；④因果的；⑤稳定的。