且在 处连续，若取
7．设 ，且 ，求
[解]因为
\
所以
于是
8．设随机变量 的密度函数为
，
，
求：⑴ ；⑵ .
解⑴ = =
= =
⑵ = =
= =
9．盒中装有分别标 数字的球，从中任取2个，
-
用 表示所取2球中最大的数பைடு நூலகம்.求 的概率分布.
．解 = ， = ，
= ， = ，
所以 的概率分布为：
。
二）、例题分析
&
随机变量及其分布期末练习题及答案
1．在事件 发生的概率为 的伯努利试验中，若以 记第 次 发生时的试验的次数，求 的分布。
[解]
小结 求离散型随机变量的分布律时，首先应该搞清随机变量取可能值时所表示的随机事件，然后确定其分布列。为验证所求分布是否正确，通常可计算一下所求得的“分布列”之和是否为1，若不是，则结果一定是错误的。
而且 时，只有 时，才能保证上式成立，即 φ，
故选择D正确。
3、袋中有5个球（3个新球，2个旧球），每次取一个，有放回地取两回地取两次，
则第二次取到新球的概率是（）
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
答案：A
分析设 表示“第一次取到新球”的事件， 表示“第二次取到新球”的事件。
4、某种产品有80%是正品，有某种仪器检查时，正品被误定为次品的概率是3%，次品被误定为正品的概率是2%，设 表示一产品经检查被定为正品， 表示产品确为正品，求 。
1、（1）“ 三个事件中至少两个发生”，这一事件可以表示为。
答案： 。
（2）事件 满足 则 。
答案：分析根据概率的加法公式与乘法公式，我们有
"
=
（3）对于任意事件 ，则 。
答案：
分析
$
=
2、事件 若满足 ，则 与 一定（）
（A）不相互独立；（B）互不相容；
（C）相互独立；（D）不互斥
答案：D
分析由加法公式，有
!
6．设某批零件的长度服从 ，现从这批零件中任取5个，求正好有2个长度小于 的概率。
7．设 分别为服从 ， ， 的随机变量，求 的概率密度函数
8．设流入某水库的总水量（单位：百万立方米）服从上的均匀分布，但水库最大容量为7。，超过7的水要溢出，求水库存水量 的分布函数
参考答案：
1．分布列
2．
3．
%
4．（1） ；（2）
解（1）
（2）
（3）
3．对目标进行5000次独立射击，设每次击中的概率为，求至少有两次命中的概率。
4．已知某元件使用寿命 服从参数 的指数分布（单位：小时）。（1）从这类元件中任取一个，求其使用寿命超过5000小时的概率；（2）某系统独立地使用10个这种元件，求在5000小时之内这些元件不必更换的个数 的分布律
5．某加工过程，若采用甲工艺条件，则完成时间 ；若采用乙工艺条件，则完成时间 。（1）若要求在60 小时内完成，应选何种工艺条件（2）若要求在50 小时内完成，应选何种工艺条件
2．设随机变量 的分布函数为
`
求（1） 的值；（2） 落在 及 内的概率；（3） 的概率密度函数。
[解]（1）有分布函数的右连续性， 在 点处有 ，即
（2）由分布函数的性质知， ；
；
（3）由于 最多除 和0点外处处可导，且在 处连续，若取
则 ，且对一切 有 ，从而 为随机变量 的密度函数。
3．设 ，且 ，求
4．不同的随机变量其分布函数可能相同吗
]
5．连续型随机变量的密度函数连续吗
练习与答案
1．一批产品，其中有9件正品，3件次品。现逐一取出使用，直到取出正品为止，求在取到正品以前已取出次品数的分布列、分布函数。
2．重复独立抛掷一枚硬币，每次出现正面的概率为 ，出现反面的概率为 ，一直抛到正反都出现为止，求所需抛掷次数的分布列。
求(1)常数a; (2)P(X<
解(1)根据密度函数的性质
1＝ =1－(a－2)3
所以a=2
(2)P(X<=
！
=
6．设随机变量 的分布函数为
求（1） 的值；（2） 落在 及 内的概率；
（3） 的概率密度函数。
[解]（1）有分布函数的右连续性，在 点处有
，即
（2）由分布函数的性质知，
·
；
；
（3）由于 最多除 和0点外处处可导，
5．（1）两种工艺均可；（2）选甲为好
6．
7．（1） ；（2） ；（3） ；
8．
⒈连续型随机变量 的密度函数是 ，
;
则 。
答案： ，
⒉设 为随机变量，已知 ，
那么 。
答案：18
.
3、设随机变量 ，则 （ ）。
A. 1；B. ；C. 0D.
答案：D
4、设随机变量 ，求 。
解
＝ （查表）
@
5.设随机变量X的密度函数是
,
[解] 因为
所以
于是
4．一批鸡蛋，优良品种占三分之二，一般品种占三分之一，优良品种蛋重（单位：克） ，一般品种蛋重 。
（1）从中任取一个，求其重量大于50克概率；（2）从中任取两个，求它们的重量都小于50克的概率。
[解] （1）设 ：任取一蛋其重量大于50克。
：任取一蛋为优良品种
：任取一蛋为一般品种
#
则 互斥，且 ，
由全概率公式得
（2）从中任取2个，每个蛋重大于50克的概率 ，小于50克的概率
设任取2个，有 个大于50克，则
！
于是所求概率为
问题与思考
1．以样本点为自变量的任意单值实函数都是随机变量吗
2．非离散型随机变量就一定是连续型随机变量吗
3．设 为连续型随机变量，而 为连续函数， 还是连续型随机变量吗