高考数学新版一轮复习教程学案
第46课 椭圆的标准方程
1. 熟练掌握椭圆的定义、几何性质.
2. 会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.
3. 重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.
1. 阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).
2. 解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a 2－c 2＝b 2的合理性与必要性.
3. 践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理科完成选修21相应任务).
基础诊断
1. 已知下列方程：①x 24＋y 23＝1；②4x 2＋3y 2＝12；③2x 2＋2y 2＝5；④x 212＋y 232 ＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有 ②④ .(填序号)
解析：①的方程表示焦点在x 轴上的椭圆；将②的方程4x 2＋3y 2＝12化为x 23＋y 24
＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.
2. 已知M(1，0)，N(0，1)，动点P 满足PM ＋PN ＝2，则点P 的轨迹是 椭圆 .
3. 已知椭圆x 212＋y 23
＝1，其焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，
则PF 1＝ 2 ，PF 2＝ 2 . 解析：由题意得c ＝a 2－b 2＝3，所以F 2(3，0).设PF 1的中点为Q ，则OQ ∥PF 2，所以
PF 2垂直于x 轴，故可设P(3，y 0)，所以912＋y 203＝1，所以y 0＝±32，所以PF 2＝32
.又因为PF 1＋PF 2＝43，所以PF 1＝732
. 4. 已知方程x 22－k ＋y 2
2k －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 (1，2) .
解析：由题意得2k －1>2－k>0，所以1<k<2.
范例导航
考向❶ 求椭圆的标准方程
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；
(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点⎝⎛⎭
⎫－32，52. 解析：(1) 因为椭圆的焦点在x 轴上，
故设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0). 由题意知2a ＝10，
c ＝4，所以a ＝5，
所以b 2＝a 2－c 2＝9，
所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29
＝1. (2) 因为椭圆的焦点在y 轴上，
故设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a>b>0). 由题意及椭圆定义知2a ＝⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22
＝210， 所以a ＝10.
又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝6，
所以椭圆的标准方程为y 210＋x 2
6
＝1.
求满足下列条件椭圆的标准方程：
(1) 长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)； (2) 经过两点A(0，2)和B ⎝⎛⎭
⎫12，3. 解析：(1) 若椭圆的焦点在x 轴上，
设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a>b>0). 因为椭圆过点A(3，0)，所以9a
2＝1，所以a ＝3. 又2a ＝3·2b ，所以b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 29
＋y 2＝1. 若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1 (a>b>0). 因为椭圆过点A(3，0)，所以9b
2＝1，所以b ＝3. 又2a ＝3·2b ，
所以a ＝9，所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29
＝1. 综上可知，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 2
9
＝1. (2) 设经过两点A(0，2)，B ⎝⎛⎭
⎫12，3的椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，
将A ，B 两点的坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，14
m ＋3n ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝14，
所以椭圆的标准方程为x 2＋y 24
＝1. 考向❷ 椭圆的定义及应用
例2 求过点A(2，0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.
解析：将圆的方程化简为(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2，0)，r ＝6.
设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C ，如图所示.
则BC －MC ＝BM ，而BC ＝6，所以BM ＋CM ＝6.
又CM ＝AM ，所以BM ＋AM ＝6>AB ＝4，
所以点M 的轨迹是以点B(－2，0)，A(2，0)为焦点、线段AB 的中点(0，0)为中心的椭圆，
所以a ＝3，c ＝2，b ＝5，
所以所求轨迹方程为x 29＋y 25
＝1.
已知定圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆N 过点F(3，0)且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E.
(1) 求轨迹E 的方程；
(2) 设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC ＝CB ，当△ABC 的面积最小时，求直线AB 的方程.
解析：(1) 因为点F(3，0)在圆M ：(x ＋3)2＋y 2＝16内，所以圆N 内切于圆M. 因为NM ＋NF ＝4＞FM ，
所以点N 的轨迹E 是以M(－3，0)，F(3，0)为焦点的椭圆，且2a ＝4，c ＝3，所以b ＝1，
所以轨迹E 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2) ①当AB 为长轴(或短轴)时，依题意知，点C 就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，
此时S △ABC ＝12
·OC·AB ＝2. ②当直线AB 的斜率存在且不为0时，
设其斜率为k ，直线AB 的方程为y ＝kx ，
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ，
可得x 2A ＝
41＋4k 2，y 2A ＝4k 21＋4k 2， 所以OA 2＝x 2A ＋y 2A ＝
4（1＋k 2）1＋4k 2. 由AC ＝CB 知，△ABC 为等腰三角形，O 为AB 的中点，OC ⊥AB ，
所以直线OC 的方程为y ＝－1k
x ，由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ， 得x 2C ＝4k 2k 2＋4，y 2C ＝4k 2＋4
， 所以OC 2＝4（1＋k 2）k 2＋4
. S △ABC ＝2S △OAC ＝OA·OC ＝
4（1＋k 2）1＋4k 2·4（1＋k 2）k 2＋4＝4（1＋k 2）（1＋4k 2）（k 2＋4）
. 由于（1＋4k 2）（k 2＋4）≤⎣⎡⎦⎤（1＋4k 2）＋（k 2＋4）22＝5（1＋k 2
）2， 所以S △ABC ≥85
， 当且仅当1＋4k 2＝k 2＋4，即k ＝±1时等号成立，
此时△ABC 面积的最小值是85
. 因为2＞85，所以△ABC 面积的最小值为85
， 此时直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x.
自测反馈
1. 若椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0，2)，则k ＝ 1 Ｗ.
解析：把椭圆方程化为标准方程得x 2＋y 2
5
k
＝1，因为焦点坐标为(0，2)，所以长半轴在y 轴上，则c ＝5k
－1＝2，解得k ＝1. 2. 已知P 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的一点，F 1，F 2是它的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则
△PF 1F 2的面积为 3
Ｗ. 解析：因为椭圆x 225＋y 2
16
＝1，所以a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.设PF 1＝t 1，PF 2＝t 2，则t 1＋t 2＝10，t 21＋t 22－2t 1t 2cos 60°＝36，即t 21＋t 22－t 1t 2＝36，所以t 1t 2＝13[(t 1＋t 2)2－(t 21＋t 22－t 1t 2)]＝643
，
所以S △PF 1F 2＝12t 1t 2sin 60°＝1633
. 3. 已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23
＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的
另外一个焦点在边BC 上，则△ABC .
解析：由椭圆x 23
＋y 2＝1，所以a 2＝3，解得a ＝ 3.设椭圆的另一个焦点为A 1，由椭圆的定义可得BA ＋BA 1＝CA ＋CA 1＝2a ，所以△ABC 的周长为4a ＝4 3.
4. 过两点(2，－2)，⎝
⎛⎭⎫－1，142，中心在原点，焦点在坐标轴上椭圆的方程为 x 28＋y 2
4
＝1 Ｗ. 解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1，将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩
⎪⎨⎪⎧4m ＋2n ＝1，m ＋72n ＝1，解得⎩
⎨⎧m ＝18，n ＝14，所以椭圆的方程为x 28＋y 2
4＝1.
1. 椭圆定义中的条件：2a>F 1F 2＝2c ，否则其轨迹不是椭圆；当2a ＝2c 时，其轨迹是线段；当2a<2c 时，轨迹不存在.
2. 求椭圆标准方程时，要先确定焦点的位置，再确定a ，b ，c ，由于有a 2－c 2＝b 2，因此，只要能够确定a ，b ，c 中的两个即可.
3. 你还有哪些体悟，写下来：。