三角函数图像的平移与伸缩问题
【问题探究】
在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A
0, 0)的图像是由sin y x 的图像怎样变换得来的，这
要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。
而我们在后来复习函数时，也要增加函数()y f x 的图像变换的内
容。
三角函数也属于函数，因此一般函数()y
f x 的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。
所以为了
使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。
多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。
现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。
大家知道，sin y
x 的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sin y x (10sin y x )，即
sin 10y x (sin 10y x )的图像；sin y x 的图像向右(左)平移
10
π
，可得到sin()10y x
(sin()10y x
)的图像；sin y x 的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的1
2)，
可得到1sin 2y x (sin 2y x )的图像；sin y x 的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的1
3)，
可得到1sin 3y x (3sin y x )，即3sin y x (1sin 3y x )的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容
10
x
10
x
10y 10y
12
x
x 2x
x
13y 3y
从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点：
左加右减，下加上减；横向变换变x ，纵向变换变y ；各种变换均在x 、y 头上直接变；x 、y 的变化总与我们的感觉相反。
例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x ；向上平移或向下平
移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y ；从这可以看出横向变换变x ，纵向变换变y 。
向右平移1
10
π时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加
1
10
π，但x 的变化却为把x 变为10x ；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x 的变化却为把x 变为1
2
x ；从这可看出x 、
y 的变化总与我们的感觉相反。
从上面的解析式的相应变化中可看到，x 、y 的变化均是直接把x 或y 变成多少，其余一律照抄下来。
例如，sin(2)3
y x
的图像向右平移2个单位，应得到sin[2(2)
]
3
y x 的图像，而不是sin(22
)3y
x ；sin(2)3
y x 的图像横向伸长至原来的3倍，应得到
1sin(2)33y x ，即2sin()33y x 的图像，而不是1
sin[(2)]33
y x 的图像，这就体现了各种变
换均在x 、y 头上直接变。
【总结提升】
把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀，为：横向变换动x ，纵向变换动y ；直接在x 、y 头上动；解析式的相应变化总与我们的感觉相反。
这个变换不但对三角函数适用，对任意函数也适用。
例如，
22x y x 的图像向右平移3个单位，得到3
22(3)x
y x 的图像。
教学生应用口诀时，要把口诀具体转化为式子表示出来，就像那个表格中的一样，向右平移3个单位，就把x 变为3x ；横向伸长至原来的3倍，就把x 变为1
3
x 。
例如，函数(2)y f x 的图像向右平移
3个单位，应得到[2(3)]y
f x 的图像，而不是(23)y f x 的图像；函数(2)y f x 的图像横向伸
长至原来的3倍，应得到1(2)3y f x 的图像，而不是1
[(2)]3y f x 的图像。
这里是学生容易出错的地方，用式子3x
x ，1
3
x x 来表达口诀，学生较易接受，犯错的机率也大幅下降。
还有，纵向变换动y ，是在y 头上直接动。
学生可能以前纵向变换是在解析式等号的右边进行变式的，如果是这样变换方法就与刚才总结的口诀不相符了，只有强调直接在y 头上动，才符合本文中的口诀，这与以前的不矛盾，只是改变了变式的左右面。
只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能应对各种复杂和连续的变换的题目，才能学会变换的逆向使用和变形使用。
例如，sin y
x 的图像经过怎样的变换能得到112sin()36
y
x 的图像
呢？应有好几个变换方法，需要进行横向平移、横向伸缩、纵向伸缩，纵向伸缩第几步执行都可以，横向
平移和横向伸缩谁先谁后将使横向平移时的平移量不一样。
只有从本质上掌握了平移变换和伸缩变换的方法，才能体会到这一点。
以上是我多年教学中对变换的一点点感受，我认为学生在这个知识点上认识不足，不能掌握到位，所以写了一篇这样的论文。
文中难免有不足之处，还望专家和同仁指出。