三角函数图像的平移、变换
一、 引入
以简单函数为例，讲解“左加右减、上加下减”。
讲清横移的实质是把所有x 替换为x+a ； 二、三角函数图像的平移之历年高考真题
1、为了得到函数sin(2)3y x π
=-的图像，只需把函数sin(2)6
y x π=+的图像（A ）向左平移4π
个长度单
位 （B ）向右平移4
π
个长度单位
（C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2
π
个长度单位
【答案】B
2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-
（B ）sin(2)5y x π
=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220
y x π
=-
解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10
π
个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －
10
π
) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210
y x π
=-.【答案】C
以此题为例，讲解横向变换的实质也是替换。
可提问：上述步骤反演，结果如何？ 3、（2010天津文）（8）
5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只
要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍，纵坐标不变
(C) 向左平移
6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变
(D) 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+ϕ).代入（-6
π
，0）可得ϕ的一个值为
3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+ 6
π
)，所以只需将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有的点向左平移6
π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变。
【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求ϕ。
三角函数图像进行平移变换
时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的1ω
4、将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x = B.22cos y x = C.)4
2sin(1π++=x y D.2
2sin y x =
答案 B 解析 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4
y x π
=+即
sin(2)cos 22
y x x π
=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为
21cos 22cos y x x =+=,故选B.
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 5、若将函数()tan 04y x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6π个单位长度后，与函数tan 6y x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图
像重合，则ω的最小值为 A ．
1
6
B.
1
4
C.
13
D.
12
解析：6tan tan[(]ta )6446n y x y x x π
ππππωωω⎛⎫⎛
⎫=+−−−−−−
→=-=+ ⎝
+⎪ ⎪⎝⎭⎭向右平移个单位 164
()6
62k k k Z π
π
ωπωπ
+=
∴=+∈∴
-
，又min 1
02
ωω>∴=.故选D 答案 D 6、将函数y=sinx 的图象向左平移ϕ(0 ≤ϕ＜2π)的单位后，得到函数y=sin ()6
x π
-的图象，则ϕ等
于 （D ） A ．
6
π B ．56π C. 76π D.116π
答案 D 解析 由函数sin y x =向左平移ϕ的单位得到sin()y x ϕ=+的图象，由条件知函数
sin()y x ϕ=+可化为函数sin()6y x π=-，易知比较各答案，只有11sin()6y x π=+
sin()6
x π
=-
7、（2009天津卷理）已知函数()sin()(,0)4
f x x x R π
ϖϖ=+
∈>的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象
A 向左平移
8π个单位长度 B 向右平移8π
个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4
π
个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换，基础题。
解析：由题知2=ω，所以)8
(2cos )42cos()]42(2cos[)42sin()(π
ππππ
-=-=+-=+=x x x x x f ，
故选择A 答案 A 二、
三角函数图像的平移之历年模拟题
1、为了得到函数y=x x x cos sin 3sin 2
+的图象,可以将函数y=sin2x 的图象( )
A.向左平移6
π个单位长度,再向下平移21
个单位长度
B.向右平移6
π个单位长度,再向上平移21
个单位长度
C.向左平移12
π个单位长度,再向下平移21
个单位长度
D.向右平移12
π个单位长度,再向上平移21
个单位长度
答案 D 2.把函数2
sin 3)2
y x x =-的图象适当变化就可以得到sin3y x =-的图象，这个变化可以是 （ ）
A.沿x 轴方向向右平移
4π B.沿x 轴方向向左平移4
π C.沿x 轴方向向右平移12π D.沿x 轴方向向左平移12
π 答案 D
3、要得到函数sin y x =-的图像，只需将函数cos y x =的图像 （ D ） A ．右移
2
π
个单位 B ．右移π个单位 C ．左移π个单位
D ．左移
2
π
个单位 4、函数cos sin y x x =-的图象可由函数2y x =的图象
（ B ）
A ．向左4π
平移个长度单位 B ．向左
34π
平移个长度单位
C ．向右4
π
平移个长度单位
D ．向右34
π
平移个长度单位
5、）将函数cos 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6
y x π
=-的图象，则这个平移变换可以是
（ D ） A. 向左平移6
π
个单位长度 B. 向左平移
3
π
个单位长度 C. 向右平移
6π个单位长度 D. 向右平移3
π
个单位长度 6、将函数()sin 2cos 2f x x x =-的图象按向量a 平移后所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（ B ） A.
38π B. 8π C. 34
π D. 4π 7、为得到函数cos(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象
（ A ）
A ．向左平移
512π
个长度单位 B ．向右平移
512π
个长度单位
C ．向左平移56
π
个长度单位
D ．向右平移56
π
个长度单位
8、将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ . 2
2sin y x =。