高等工程数学试题
( 工程硕士研究生及进修生用 2007年1月 )
注意：1. 答案一律写在本试题纸上，写在草稿纸上的一律无效；
2. 请先填好密封线左边的各项内容，不得在其它任何地方作标记；
3. 本试题可能用到的常数: ,,1448.2)14(1604
.2)13(975.0975.0==t t 0.900.900.95(11)39.9(12)8.53 1.645F F u === ,
, ,, .
一 填空题(每空3分,共30分)
1. )(P 2t 中的多项式132)(2
+-=t t t p 在基)}2)(1(11
{---t t t , ,下的坐标向量为 .
2. 设0α是欧氏空间n
V 中固定的非零向量,记0{ |0}n
W V ξαξξ∆
=<>=∈,, ，则
)dim(=W .
3. 设111121i A i +⎡⎤
=⎢
⎥-⎣⎦
，则|||| A ∞=.
4．设⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡=c c c A 2000001，则当且仅当实数c 满足条件 时，有O A k k =+∞→lim ． 5. 设⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解为H V ΣU A =，则 =Σ． 6. 设)(21X X
,是来自)0(~2
,σN X 的样本，则当常数
=k 时有 10.0)()()(2
212212
21=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧>-+++k X X X X X X P ． 7. 对某型号飞机的飞行速度进行了15次试验，测得最大飞行速度的平均值
)s /m (0.425=x ，样本标准差2.8=s .根据长期经验，可以认为最大飞行速度X 服从正
态分布) (2
σN ,
μ，则 μ的置信度为95%的置信区间是 ) ( , . 8. 设总体
X 的概率密度函数为
)0( .
0,0,0,)(>⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-λλλx x e x f x
,,21X X …n X ,是来自总体X 的样本, 则未知参数λ的矩估计 ˆ=λ.
9. 为了检验某颗骰子是否均匀，将其掷了60次，得到结果如下：
11 10137811
6 54321 数频出现点数
则2χ拟合优度检验中的检验统计量=2
χ______________ .
学院（部） 学号（编号） 姓名 修读类别（学位/进修）
（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
10. 为了考察三个工厂生产的某同型号电池的质量，质检部门分别从三个工厂生产的电池中各随机抽取4只进行寿命试验，试验后算得三个样本方差分别为
25.569.419.82
32221===s s s , ,，又全部12个试验数据的总离差平方和67.315=T S ，则三
种电池的效应平方和 =A S .
二、(10分) 设}{4321εεεε , , ,
=B 是欧氏空间4V 的一个标准正交基，T 是4V 上的线性变换,且4
4
1 V x i i i ∈=∀∑=εα有
.4432134324211421)22()()2(2)2(εεεεαx x x x x x x x x x x x T +-+-+-+++-+--=
(1) 证明T 是对称变换； (2) 求值空间)(T R 的一个基. 解
三、(10分) 求矩阵⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡--=1002210 12A 的最小多项式)(λA m 和Jordan 标准形.
解
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（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
四、(10分) 设. , ,
) (0302
22∞+-∞∈⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=t A 计算t A e 及行列式||t A e ． 解
五、(10分) 设
. , , R c c b A ∈⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10021012 （1）求矩阵A 的满秩分解；
（2）问当且仅当c 满足什么条件时，线性方程组Ax b =不相容； （3）当线性方程组Ax b =不相容时，求)(*A R y ∈，使得*y 满足
2)
(2*||||min ||||b y b y A R y -=-∈．
解
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（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
六、(10分) 设总体X 服从瑞利分布，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=- , , , ,0 0 0) (222
22
x x e x x f x σσσ;
其中0>σ未知，n X X X
,,
, 21为来自该总体的样本.已知2244()2,()8E X E X σσ==． （1）求未知参数2σ的极大似然估计2ˆσ； （2）证明2ˆσ
是2σ的最小方差无偏估计． 解
七、(10分) 国家规定，每500克食品中重金属含量不能超过350微克. 某食品厂宣称该厂的某种500克袋装食品达到了国家标准. 现抽查了11袋该种食品，测得每袋食品的重金属含量如下（单位：微克）
340 344 362 361 356 370 354 364 332 360 340.
假设该厂袋装食品重金属含量μμ,,
)100(~N X 为未知参数. （1）在显著性水平05.0=α下，能否认同厂方的说法？
（2）求你给出的检验的功效函数；
（3）问至少应抽查多少袋食品，才能使得该厂每袋产品的重金属含量实际上超过了355微克而又接受了厂方说法的误判概率不超过05.0？ 解
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（ 密 封 线 内 请 勿 答 题 ）
…………………………………………密………………………………………封………………………………………线…………………………………………
八、(10分) 设n X X X
,,
, 21为来自总体 )(~21σμμ 2,+N X 的样本，n Y Y Y 221
,,, 为来自总体 )(~21σμμ 2,-N Y 的样本，且两样本独立，其中 21σμμ 2,
,均未知.试求2,μμ1的最小二乘估计2,μμ
ˆˆ1，并问2,μμˆˆ1是否独立（要说明理由）. 解。