单元测试(一) 一元二次方程 (时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
C
D
C
D
A
B
C
A
1．下列方程是关于x 的一元二次方程的是(D) A ．4x 2
－2xy ＝1x
B ．ax 2
＋bx ＋c ＝0(其中a ，b ，c 为常数) C ．(x ＋1)(x －1)＝x 2
－2x
D ．x 2
－1＝0
2．一元二次方程x 2
＋8x －9＝0配方后得到的方程是(B) A ．(x －4)2
＋7＝0 B ．(x ＋4)2
＝25 C ．(x －4)2＝25
D ．(x ＋4)2
－7＝0
3．方程2x 2＋3x －4＝0的根的情况是(C) A ．有两个相等的实数根
B ．只有一个实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．没有实数根
4．已知关于x 的一元二次方程x 2
－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为(D)
A ．b ＝－1，c ＝2
B ．b ＝1，c ＝－2
C ．b ＝1，c ＝2
D ．b ＝－1，c ＝－2
5．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：
x 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出
－13.75
－8.04
－2.31
3.44
9.21
分析表格中的数据，估计方程(x ＋8)2
－826＝0的一个正数解x 的大致范围为(C) A ．20.5＜x ＜20.6 B ．20.6＜x ＜20.7 C ．20.7＜x ＜20.8
D ．20.8＜x ＜20.9
6．若三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2－13x＋36＝0的根，则该三角形的周长为(D)
A．18 B．15 C．14 D．13
7．已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab 的值等于(A)
A．－1 B．0 C．1 D．2
8．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行，则列方程得(B)
A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40
C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8－x)(10－x)＝8×10＋40
9．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，则一次函数y＝(m －3)x＋m＋5经过(C)
A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限
10．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为(A)
A．2－ 3 B．2＋ 3 C．2＋ 5 D.5－2
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．将方程x(x－1)＝4(x＋1)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数与常数项之和为－8．
12．若一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为x1，x2，则两根的和x1＋x2＝6．
13．若关于x的方程(k－1)xk2＋1＋2kx＋5＝0是一元二次方程，则k＝－1．
14．某品牌手机经过连续两次降价，每台售价由原来的1 800元降到了1 100元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程为1_800(1－x)2＝1_100．
15．两个连续奇数的积为35，则这两个连续奇数分别为5，7或－5，－7．
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分) 16．(8分)用适当的方法解方程：
(1)x 2
－x －1＝0； 解：x 1＝1＋52，x 2＝1－5
2.
(2)(x －2)2
＝2x －4. 解：x 1＝2，x 2＝4.
17．(9分)已知关于x 的一元二次方程x 2
－4x ＋k ＝0有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；
(2)若k 取符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2
－4x ＋k ＝0与x 2
＋mx －1＝0有一个相同的根，求此时m 的值．
解：(1)由题意知：Δ＝16－4k ＞0，∴k ＜4. (2)取k ＝3，
∴x 2
－4x ＋k ＝0的解为x ＝1或x ＝3. 当两方程相同根为1时，m ＝0； 当两方程相同根为3时，m ＝－8
3.
故m 的值为0或－8
3.
18．(9分)有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字的位置后，得到的新两位数比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
解：设这个两位数的个位数字是x ，十位数字是14－x ，则 10x ＋14－x ＝x(14－x)＋38， 即x 2－5x －24＝0.
解得x 1＝－3(舍去)，x 2＝8. 10×(14－8)＋8＝68.
答：这个两位数是68.
19．(9分)汽车产业的发展，有效促进了我国现代化建设．某汽车销售公司2017年盈利1 000万元，2019年盈利1 440万元，且从2017年到2019年，每年盈利的年增长率相同． (1)求每年盈利的年增长率；
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2020年盈利多少万元？ 解：(1)设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，得 1 000(1＋x)2
＝1 440.
解得x 1＝0.2，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)． 答：每年盈利的年增长率为20%. (2)1 440(1＋0.2)＝1 728(万元)． 答：预计2020年该公司盈利1 728万元．
20．(9分)已知关于x 的一元二次方程x 2
＋mx ＋n ＝0的一个根是2，另一个根是正数，而且也是方程(x ＋4)2
－52＝3x 的根． (1)求m ，n 的值；
(2)求一次函数y ＝mx ＋n 与坐标轴围成的三角形的面积． 解：(1)把x ＝2代入x 2
＋mx ＋n ＝0，得2m ＋n ＋4＝0.① 解方程(x ＋4)2
－52＝3x ，得x 1＝4，x 2＝－9(舍去)． 把x ＝4代入x 2＋mx ＋n ＝0，得4m ＋n ＋16＝0.② 由①②得m ＝－6，n ＝8.
(2)由(1)知y ＝－6x ＋8，它与坐标轴围成的三角形面积为16
3.
21．(10分)如图，若要建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．
(1)若墙长为18米，要围成养鸡场的面积为150平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成养鸡场的面积可能达到200平方米吗？
解：(1)设养鸡场垂直于墙的一边长为x 米，根据题意，得 x(33－2x ＋2)＝150，解得x 1＝10，x 2＝15
2(不合题意，舍去)．
33－2x ＋2＝15.
∴长为15米，宽为10米．
(2)设养鸡场垂直于墙的一边长为y 米，根据题意，得 y(33－2y ＋2)＝200，整理，得2y 2
－35y ＋200＝0. ∵Δ＝(－35)2
－4×2×200＝1 225－1 600＝－375＜0， ∴方程没有实数根．
∴围成养鸡场的面积不能达到200平方米．
22．(10分)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x 元，据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加2x 件，每件商品盈利(50－x)元；(用含x 的代数式表示)
(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？
解：由题意，得(50－x)(30＋2x)＝2 100. 化简，得x 2
－35x ＋300＝0， 即(x －15)(x －20)＝0. 解得x 1＝15，x 2＝20.
∵该商场为了尽快减少库存，∴x ＝20.
答：每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元．
23．(11分)在长方形ABCD 中，AB ＝5 cm ，BC ＝6 cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1 cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2 cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t s. (1)填空：BQ ＝2tcm ，PB ＝(5－t)cm(用含t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，PQ 的长度等于5 cm?
(3)是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2
？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
解：(2)由题意，得(5－t)2
＋(2t)2
＝52
， 解得t 1＝0(不合题意，舍去)，t 2＝2. 故当t ＝2时，PQ 的长度等于5 cm.
(3)存在t ＝1，能够使得五边形APQCD 的面积等于26 cm 2
. 长方形ABCD 的面积为5×6＝30(cm 2
)，
若五边形APQCD 的面积等于26 cm 2
，则△PBQ 的面积为30－26＝4(cm 2
)， 即(5－t)×2t ×1
2
＝4，
解得t 1＝4(不合题意，舍去)，t 2＝1.
即当t ＝1时，五边形APQCD 的面积等于26 cm 2
.。