a1
G2 g
O
r
G2
r
G2 g
a1
G1
G1 g
a1
有
G1 g
a1
δ
x
G2 g
r cos
δ
x
G2 g
a1
δ
x
0
即
G1 G2 a1 G2r cos
(a)
又由 δWF 0, δ 0,δ x 0 , 有
2021年4月14日
9
1 2
G2 g
r2
δ
G2 g
r
r
δ
G2 g
a1
cos
r
δ
G2
sin
r
不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度。
解:本系统为完整约束，主动力非有
势，采用基本形式的拉氏方程求解。
q1
①判断系统的自由度，
取广义坐标。
m1
本题中， k 2，取 q1, q2 为广义坐标，
2021年4月14日
M
q2
R
m2
19
则有 R q1 2q2 , Rδ δq1 2δq2
R q1 2q2, R q1 2q2
m2 g 2
vC r1 r2 , aC r1 r2
令 δ1 0,δ2 0 ，由 δWF(2 ) 0
有 (m2 g m2aC )rδ2 JC2δ2 0
2021年4月14日
(a)
(b)
12
将式(a)及 JC m2r2 代入(b)式，
JO1
得 r(1 22 ) g (c) 再令 δ1 0,δ2 0
FQ j
F* Qj
0
j 1, 2,...k
F* Qj
不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。将
F* Qj
能量化
从而导出拉氏方程。
1)
ri ri “同时消点”
qj qj
2)
d dt
ri qj
ri qj
“交换关系”（求导）
2021年4月14日
15
一、拉氏方程的一般形式
d T T
dt
q j
q j
2021年4月14日
2
§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
F i F Ii ri 0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理
理想约束，不论约束完整，定常与否均适用
2.直角坐标形式：
[(Fix mi xi ) δxi (Fiy mi yi ) δyi (Fiz mi zi ) δzi ] 0
FQj
j 1, 2,...k
第二类拉氏方程，以t为自变量，q j (t)为未知函数的
二阶常微分方程组，2k个积分常量，须2k个初始条
件
2021年4月14日
16
例1 均质杆OA质量为m1、可绕轴O转动,
大齿轮半径为R，小齿轮质量为m2，半
径为r ，其上作用一常力偶M，设机构处 于水平面。 求：该杆的运动方程。
A
M
r
O
R
答：
(2m1
3M 9m2 )(R
r)2
t2
0t
0
2021年4月14日
17
例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。
CR
答：
O
F
x
x
a
F
f (m1 m2 ) g
m1
m2 3
2021年4月14日
18
例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1, m2
δ
0
即
3 2
G2 g
r
G2 g
a1
cos
gG2
sin
0
(b)
式(a)代入(b),可得
注意:
a1
G2g sin2 3G1 G2 2G2 sin2
令
δx
0
时，牵连惯性力
G2 g
a1
并不为零；
令 δ 0时，相对惯性力 G2 r 并不为零，
g 两者相互独立。
2021年4月14日
10
例4 均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕
2021年4月14日
4
例1 图示为离心式调速器
已知：m1, m2 , l , , 求：(θ) 的关系。
答：
2 (m1 m2 )g m1lcos
l θθ l
A B
m1g l
C
l m1g
m2g
2021年4月14日
5
例2 已知 P1, P2,, r, J 求a?
答:
a
2P1 P2 r2 sin 2P1 P2 r2 2Jg
g
2021年4月14日
a p1
p2 p1
6
2021年4月14日
7
例3 已知重量 G1,G2 ,及 ,r, 轮纯滚,水平面光滑, 求三棱柱加速度。
O
G2 r
G1
2021年4月14日
8
解:加惯性力，受力如图。
选 x,广义坐标。
δx
由 δWFx = 0,δ 0,δ x 0
δ
1 2
G2 g
r 2
圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1,m2 ,r,
试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
1 m1 r
O
图(a)
2021年4月14日
A m2
rC 2
11
解:自由度k=2
取两轮转角 1,2 为 广义坐标，其受力与运
JO1
1m1a0
O 1
m1 g
图(b)
动分析，如图(b)所示，
A
m2aC JC2 C 2
1m1a0
O 1
m1 g
由
δWF(1) 0 有
图(b)
m1a0rδ1 J01δ1 (m2aC m2 g)rδ1 0
即
(3 2
m1r
m2r)1
m2r2
m2 g
联立 (c)和(d)式，可得
2021年4月14日
a0
r1
m2 g 3m1 m2
,
aC
(2m2 3m1)g 2(3m1 m2 )
动力学普遍方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程的首次积分
2021年4月14日
1
运用矢量力学分析非自由质点系，必然会 遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否 建立不含未知约束力的动力学方程？
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建 立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为 第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述 动力系统。
②计算系统的T与FQj
T
1 2
m1q12
1 2
m2q22
1 2
J ( q1
2q2 R
)2
q1
T q1 T q2
FQ1
F 2021年4月14日Q2
m1q1
J R2
(q1
2q2 ),
T q1
0
2J m2q2 R2
i
2021年4月14日
3
3.广义坐标形式
设完整约束系统有K个自由度，可取 q1,q2 ,q3...qk ,广义坐标.
k
(FQj
*
FQj
)
q
j
0
j 1
注意: 包含了惯性力虚功!
广义主动力 广义惯性力
n
r FQj
i 1
Fi
q
i j
*
r FQj
n
i 1
miai
q
i j
*
FQj FQj 0
j 1,2,k
A m2aC
JC2 C 2
m2 g 2
(d)
13
思考 1.本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?
2.用动力学普遍定理如何求解?
3.计入滑轮A质量,结果有何变化?
JO1
1m1a0
O 1
m1 g
图(b)
A
m2aC JC2 C 2
m2 g 2
2021年4月14日
14
§9-2 拉格朗日方程
对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为