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《高等数学》教案 第三章 导数与微分

y = f {ϕ [ ψ ( x)]} 在点 x 处导数是
dy = f ′(u ) ⋅ ϕ ′(v) ⋅ψ ′( x) dx
使用公式:

′ ′ ′ y′ x = yu ⋅ u v ⋅ v x
注意:求复合函数的导数时,要一层一层地计算,注意不要漏层,每一层都
′ ′x ′x = (复合函数) (复合函数) (中间变量) 中间变量 ×
第三章
导数与微分
研究导数理论,求导数与微分的方法及其应用的科学称为微积分。导数反映 了函数相对于自变量变化的快慢程度,即变化率问题;而微分刻画了当自变量有 微小变化时, 函数变化的近似值。 本章主要利用极限这个工具来研究导数与微分。 学习中应注意理解极限、 导数与微分之间的区别与联系, 熟练掌握各种求导法则。
v t =t0 = lim
f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) Δs = lim Δt →0 Δt Δt →0 Δt
1
二、切线问题 曲线 y = f (x)上任一点 M(x0,y0) ,当横坐标有一变化量∆x,纵坐标亦有一 个变化量∆y,得到另一点 M1(x0+∆x,y0+∆y) ,作割线 MM1(设其倾角为 φ) , 则 MM1 的斜率为:
4、反三角函数的导数
(arcsin x)′ = 1 1− x
2
(csc x)′ = − csc x ⋅ cot x
(arccos x)′ = −
1 1− x2
(﹣1< x <1)
1 1+ x2 5、指数函数的导数 (arctan x)′ =

(arc cot x)′ = −
1 1 + x2
y = ax (a>0,a≠1) ,则有 (a x )′ = a x ln a
(3)求∆x → 0 时
Δy 的极限: Δx
Δy f ( x + Δx) − f ( x) = Δx Δx
f ( x + Δx) − f ( x) Δx
y ′ = f ′( x) = lim
Δx →0
利用导数的定义求极限:
3
二、导数的几何意义 函数 f (x)在点 x0 处的导数 f ′( x0 ) 就是曲线 y = f (x)在点 M(x0,y0)处的切线 斜率。
f ′( x0 ) = lim
Δx →0
Δy = lim tan ϕ = tan α Δx Δx→0
(α≠
π
2

过点 M(x0,y0)的切线方程为: 法线方程为:
y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 )
y − y0 = −
1 ( x − x0 ) f ′( x0 )
4
三、左、右导数 定义:设函数 y = f (x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 若 lim−
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx
⎛ f ( x) − f ( x0 ) ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ 或 xlim ⎟ 存在,则称为 f (x)在点 x0 处 → x0 x − x0 ⎝ ⎠
的左导数,记作 f −′ ( x0 ) ; 若 lim+
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δx
5
利用可导与连续的关系解题:
习题 12:
6
习题 1--14
§3.3 导数的基本公式与运算法则
对于一个函数,直接用定义求导数,将是极为复杂和困难的,因此需要找到 一些基本公式与运算法则,以此简化求导计算。 一、常用基本求导公式
1、常数的导数

y = c (c 为常数) ,则有
c′ = 0
2、幂函数的导数
du dy = ϕ ′( x) ,y = f (u)在对应点 u 处有导数 = f ′(u ) ,则复合函 du dx
数 y = f [ϕ ( x )] 在点 x 处导数也存在,而且可表示为
dy = f ′(u ) ⋅ ϕ ′( x) dx

′ ′ y′ x = yu ⋅ u x
此公式可推广到有限次复合,设 y = f (u), u = ϕ (v) , v = ψ ( x) ,则复合函数
习题 21 求下列函数导数(4) (18) (24) :
习题 23 求下列函数导数(4) (5) :
10
习题 26:
11
2、分段函数的求导。求分段函数的导数时,在分段点处要使用定义判定和 计算,而在其余各个可导区间内,使用导数公式求其导数。 习题 31:
习题 32:
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⎧ x, 0 < x ≤1 ⎪ ⎪ 例题:已知函数 F ( x) = ⎨ 在其定义域内求 F ′( x) 。 1 ⎪ , 1< x ≤ 2 ⎪ ⎩x 解:
Δs f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) = Δt Δt
当物体变速运动时, 速度随时间而变化, 上式表示在∆t 时间内的平均速度 v :
v=
Δs f (t 0 + Δt ) − f (t 0 ) = Δt Δt Δs 存在,就称此极限为物体在时刻 t0 时的 Δt →0 Δt
当∆t 很小时,可以近似用 v 表示物体在时刻 t0 时的速度,∆t 越小,近似程 度越好。当∆t → 0 时,如果极限 lim 瞬时速度,即
⎛ f ( x) − f ( x0 ) ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 存在,则称为 f (x)在点 x0 处 ⎜ 或 xlim + → x0 x − x0 ⎠ ⎝
的右导数,记作 f +′ ( x0 ) 。 显然,当且仅当函数在一点的左、右导数都存在且相等时,函数在该点才 是可导的。 函数 f (x)在区间[a,b]内可导,是指函数 f (x)在开区间(a,b)内处处可导, 且存在 f +′ (a ) 及 f −′ (b) 。 四、可导与连续的关系 定理:如果函数 f (x)在点 x0 处的可导,则它在 x0 处一定连续。 此定理的逆定理不成立,即可导一定连续,但连续不一定可导。连续是可导 的必要条件,但不是充分条件。
f ′( x) ,
y′ ,
dy dx

d f ( x) dx
函数 f (x)在点 x0 处有导数值 f ′( x0 ) 即为导函数 f ′( x) 在点 x0 处有函数值。 由导数定义求导数的方法有下列步骤: (1)求出对应于自变量的改变量∆x 的函数改变量:
∆y = f (x+∆x)-f (x)
(2)作出比值:
2
时,函数 f (x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率;而导数 f ′( x0 ) = lim 反映的是函数 f (x)在点 x0 处的变化速度,称为函数在点 x0 处的变化率。 函数 f (x)在点 x0 处的导数,也可按下式表示:令 Δx = x − x 0 ,则有
Δy Δx →0 Δx
f ′( x0 ) = lim
当u=c (v≠0)
(c 为常数)时,
′ v′ ⎛c⎞ ⎜ ⎟ = −c 2 v ⎝v⎠
8
习题 15:
习题 16:
习题 17:
习题 20:
9
三、复合函数与反函数的求导法则 1、复合函数求导 设函数 y = f (u),u = ϕ ( x) , y 是 x 的一个复合函数 y = f [ϕ ( x )] , 如果 u = ϕ ( x) 在点 x 处有导数
对于分段函数的复合函数求导,首先要求出复合函数的表达式,然后再求导 数,特别注意在分段点处要利用左右导数来求。例如:
3、抽象形式的复合函数求导。含有抽象的复合函数求导,一是要注意复合
函数的结构,对于多层复合函数求导,要分清自变量、中间变量和因变量,求导
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时应由外往里按复合层次一层一层地计算,直到对自变量求导为止。二是导数符 号 “′” 在不同位置表示对不同变量求导, 如 f ′[g ( x)] 表示 f 对中间变量 g ( x) 求导;
∆x → 0 时,
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δy Δy 的极限存在,即 lim 存在,则称此极 = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx f ′( x0 ) ,
y ′ x = x0 ,
,记作: 限值为函数 f (x)在点 x0 处的导数(或微商)
dy d 或 f ( x) x = x0 x = x0 dx dx Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) 由以上可知: 反映的是自变量 x 从 x0 改变到 x0+∆x = Δx Δx
tan ϕ =
Δy f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = Δx Δx
Hale Waihona Puke 当∆x → 0 时,点 M1 向点 M 移动,从而割线 MM1 变为点 M 处的切线(倾角 为 α) ,即切线的斜率为:
tan α = lim tan ϕ = lim
Δx →0
f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) Δy = lim Δx →0 Δx Δx →0 Δx
§3.1 引出导数概念的例题
在解决实际问题的时候,不但要了解变量之间的函数关系,而且有时还要研 究变量变化快慢的程度。只有在引入导数的概念之后,才能更好的说明这些量的 变化情况。 一、物体做变速直线运动的速度 s = f (t) 当时间由 t0 改变到 t0+∆t 时,物体在∆t 时间内所经过的距离为: ∆s = f (t0+∆t)-f (t0) 当物体匀速运动时,速度是一常量:
特别地,
( e x )′ = e x
( x x )′ = x x (ln x + 1)
6、对数函数的导数

y = log a x
(a>0,a≠1) , 则有
特别地,
1 (log a x)′ = log a e x 1 (ln x)′ = x
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