第二章 导数与微分答案第一节 导数概念1．填空题. （1）()'f 0= 0；（2） (2, 4) （3） 1 .（4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题.（1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知()().5)21(lim 2)22(lim 22lim )2()2(22222'=++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t4．设()ϕx 在x a =处连续，()()()f x x a x =-ϕ，求()'f a ；若)(||)(x a x x g ϕ-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()ϕx 在x a =处连续， 故)()(lim a x ax ϕϕ=→，所以()()()).()(lim 0)(lim lim)('a x ax x a x a x a f x f a f a x a x ax ϕϕϕ==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知()()()),(0)(lim lim )('a ax x a x a x a g x g a g a x a x ϕϕ=---=--=++→→+()()()).(0)(lim lim )('a ax x a x a x a g x g a g a x a x ϕϕ-=----=--=--→→-可见当()0=a ϕ时，()0)('==a a g ϕ；当()0≠a ϕ时，())(''a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。

5．求曲线yx =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程.解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为,4|4|131'1=====x x x y k从而所求切线方程为),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .所求法线的斜率为,41112-=-=k k 于是所求法线方程为),1(41)2(--=--x y 即 4741--=x y .6．证明函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0 , 00 ,11x x xx x f 在点x =0处连续，但不可导. 证明 因)0(021lim 11lim )(lim000f xxx x x f x x x ===-+=+++→→→，又易知)0(0)(lim _0f x f x ==→，故()x f 在点x =0处连续。

而()(),21lim 011lim0lim )0(23000'∞==--+=-=+++→→→+h hhhh hf h f f h h h ， 故右导数不存在.7. 设)100()1()(--=x x x x f ，求).0('f 解 由导数定义知()()!.1000)100()2)(1(lim 0lim)0(00'=----=-=→→xx x x x x f x f f x x第二节 函数的求导法则1．选择题.（1） D ； （2）D ； （3） A ； 2．求下列函数的导数.（1）.2ln 33-+=x y x 解 .33ln 32'x y x += （2）().cos 2x x x y +=解 .212s i n c o s 2)21s i n ()(c o s 2232212'x x x x x x x x x xx y +-=+-++=-（3）()()().321---=x x x y解 ()()'')]3)(2)[(1(32---+--=x x x x x y.11123)23)(1()3)(2(2+-=-+--+--=x x x x x x x(4) ).1,0(sin 3≠>+=a a e a x x y x x 解xx x x e a e a a x x x x y +++=-)ln (cos sin 313132')l n (c o s s i n 313132ae e a x x x x x x ++=-（5）.ln cot 2x x x y = 解.cot ln csc ln cot 2)1cot ln csc (ln cot 2)ln (cot ln cot 22222'2'x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x y +-=+-+=+=（6）.sec x xe y x=解 ).tan 1(sec )tan sec sec (sec 'x x x x e x x e x e x x e y xxxx++=++= 3．设yx x x=+ln 1，求x y d d 及.d d 1=x x y解 ,211ln )21(1ln d d 2323---+=-+⋅+=x x x x x x x y因而21211d d 1=-==x xy. 4. 在下列各题中，设f u ()为可导函数，求d d y x. （1）)].cos (sin [x x f f y +=解 ).sin )(cos cos (sin )]cos (sin ['''x x x x f x x f f y -++=（2）()().x f x e e f y =解 .)]()()([)()()()('')(')()(''x f x x x f x f x x f x x e e f x f e f e x f e e f e e e f y +=+= 5. 设f x xe x ()1-=-且f x ()可导，求).(x f '解 把方程两端分别对x 求导，得:),1()1()1()1('x e xe e x f x x x -=-⋅+=-⋅---- 令y x =-1, 则,)(1'--=y ye y f 即 .)(1'--=x xe x f 6. 设f u ()为可导函数，且f x x ()+=35，求)3(+'x f 和).(x f '解 把方程两端分别对x 求导，得4'5)3(x x f =+, 进而.)3(5)(4'-=x x f第三节 高阶导数1． 填空题.（1）x y 10=，则()()=0n y n )10(ln . （2）yx =sin2，则()()y x n= )22sin(2πn x n + ..2． 选择题.（1） C ； （2） D ； 3. 求下列函数的n 阶导数.(1) .)1(αx y += 解 ,)1(1'-+=ααx y ,,)1)(1(2" -+-=αααx y.)1)](1([)1()(n n x n y -+---=αααα(2) .5xy =解 ,5ln 5'xy = ,)5(ln 52"xy =, .)5(ln 5)(n x n y =4．计算下列各题. （1）()yx x =-11，求()().24y解 将原题改写为xx y 111--=, 则,)1()1(22'------=x x y ,!2)1(!233''----=x x y ,!3)1()1(!344'''------=x x y ,!4)1(!455)4(----=x x y 于是.493]2)12[(!4)2(55)4(=--=--y （2）()ye x x =-21，求().20y解 ()),12(2122'-+=⋅+-=x x e x e x e y x x x()),14()22(1222''++=+⋅+-+=x x e x e x x e y x x x ()),56()42(1422'''++=+⋅+++=x x e x e x x e y x x x依此类推可用数学归纳法证明, 对一切自然数n 有],1)1(2[2)(--++=n n nx x e y x n将20代入得).37940(2)20(++=x x e y x 注：本题也可用莱布尼茨公式计算.第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率1． 设y e y x x sin 22=-，求.dxdy 解 把方程两边分别对x 求导，得,cos 2222dxdy y e dx dy x xy x ⋅=-+ 故 .cos )(222yx xy e dx dy x --=2． 设063sin 33=+-+y x y x ，求.0=x dx dy解 把方程两边分别对x 求导，得,063cos 33322=+-+dxdy x dx dy y x （*） 故 .23c o s 22+-=y x x dx dy由原方程可得，0=x 时，0=y ，将0,0==y x 代入上式，即得.210==x dx dy 或：不必求出dx dy 的具体表达式，将0,0==y x 代入（*）式，可解得.210==x dx dy 3．求曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2221313t t y t t x 在2=t 处的切线方程和法线方程. 解 将2=t 代入原方程得),(000y x M 的坐标 512,5600==y x , 在点),(000y x M 的切线斜率为,34336d d 222-=-====t t t t x y k在点),(000y x M 的切线方程为)56(34512--=-x y , 即01234=-+y x , 在点),(000y x M 的法线方程为)56(43512-=-x y , 即0643=+-y x . 4．利用对数求导法求导数. （1）.1sin x e x x y -=解 两边取对数, 得 ),1sin ln(21ln x e x x y -=上式两边对x 求导, 得)].)1(2cot 1[21]}1)21(sin 1[cos 1sin 11{21])1(sin 1[sin 1sin 1211''x x xx xx x x x e e x x e e x e x e x x e x x e x e x x y y --+=--⋅+--+⋅=-⋅+--⋅= 因此,)].)1(2cot 1[1sin 21'xx x e e x x e x x y --+-= （2）().sin ln xx y =解 两边取对数, 得,sin ln ln ln x x y ⋅= 上式两边对x 求导, 得xxx x x y y sin cos ln sin ln 11'⋅+⋅= 因此,).ln cot sin ln 1()(sin ln 'x x x xx y x⋅+= 5．设()y y x =由方程e y x xy+-=350所确定，试求d d yxx =0，.d d 022=x x y解 应用隐函数方程求导法, 得,053)(2=-⋅++dxdy y dx dy xy e xy (*) 将 0=x 代入e y x xy+-=350得13-=y ，即,0=x 1-=y ，将其代入（*）， 得.2d d 0==x xy在（*）式两端继续对x 求导，,03)(6)2()(2222222=⋅+⋅+⋅+++dx y d y dx dy y dx y d x dx dy e dx dy x y e xy xy（**） 将,0=x 1-=y ，及.2d d 0==x xy代入（**）， 得.319d d 022==x x y6．求下列参数方程所确定的函数的各阶导数.（1） 设()x t y e t ==+⎧⎨⎪⎩⎪-ln sin tan 1，02<<⎛⎝ ⎫⎭⎪t π，求.d d x y 解 利用参数方程求导法, 得.tan )1(sec sin cos )()1(sec )sin (ln )]1[tan(22''t e e tt e e t e dx dy t t t t t -----+-=-⋅+=+= （2） 设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 确定，求.0=t dx dy解 利用参数方程求导法, 得.d d dtdxdtdyx y = 因此只需分别求dt d y 及dt dx 在0=t 时的值.易知，.20==t dt dx下面用隐函数方程求导法求.d dy t在01sin =+-y t e y 两端对t 求导，得0cos sin =-⋅+⋅⋅dtdyt e t dt dy e y y ， 由 01sin =+-y t e y 得，0=x 时，1=y ，将1,0==y x 代入上式，即得.0e dt dyt == 于是.20edx dy t ==第五节 函数的微分1． 填空题.（1）设x x y 22-=在x 02=处∆x =001.，则=∆y 0.0201 ，=y d 0.02 .(2) 设()yf x =在x 0处可微，则=∆→∆y x 0lim 0 . （3）函数)(x f 在点0x 可微的必要充分条件是函数)(x f 在点0x 可导 . （4）d C x +ln .1dx x= （5）d C ex+331.3dx e x =（6）d C x +arcsin .112dx x-=（7）dC x +2sec 21.2tan 2sec xdx x =. d 2． 选择题.（1） C ； （2） A ； （3） D ； （4）B3．求下列函数的微分. （1）.412x x y +=解 .)11(2]1212[33dx x xdx x x dy -=+-= （2）.2x e x y -=解 应用积的微分法则，得.)2()(2)()()(2222dx xe x dx e x xdx e e d x x d e e x d dy x x x x x x -------=-+=+==（3） .1cos 2xx y -=解 应用商的微分法则，得.)1(cos 2sin )1()1()1(cos )(cos )1()1cos (22222222dx x xx x x x x xd x d x x x d dy -+-=----=-= （4） 设x x x y cos ln 22-=，求1=x dy . 解 因 ,]sin )1(ln 2[)sin 2ln 2(2222dx x x x dx x xxxx x dy ++=++= 故 .)1sin 2(1dx dy x +==4．)(x f 可微，)(sin )(sin x f x f y -=，求.dy 解 .)]()(cos cos )(sin [''dx x f x f x x f dy ⋅-= 5．223y xy x y ++=，求.dy解 上式两边对x 求导，得,223'''2yy xy y x y y +++=即 ,2)23('2y x y y x y +=-- 故 .2322dx yx y yx dy --+=6．计算302.1和98.0ln 的近似值.解 ,02.0102.133+= 这里 ,02.0=x 利用近似公式,111x nx n+≈+ （3=n 的情形），便得.0067.102.031102.13=⨯+≈7. 钟摆摆动的周期T 与摆长l 的关系是g l T π2=，其中g 是重力加速度。