数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法； 泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：222222(,)(,)(),()u x t u x t F a a txρ∂∂==∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：222222222221,00i a LCi a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:22222211,,H E H E t t εμεμ∂∂=∇=∇∂∂22222222221(),με标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:ρ，其中22u Fa u f f t c ∂=∇+=∂ 导热杆（无热源）222u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):Poisson 方程：，2u f ∇= Laplace 方程：，20u ∇=2.定解条件：初始条件及边界条件边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):2Duf n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3()Duu f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩偏微分方程(泛定方程)定解问题初始条件定解条件边界条件()Cauchy ⎧⎨⎩泛定方程(1)初始问题初始条件 ⎧⎨⎩泛定方程(2)边界问题(第一,二,三)边界条件⎧⎪⎨⎪⎩泛定方程(3)混合问题初始条件边界条件4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理212,11,,,,,,,:nnij i ij i n i j i i j iL a b c a b c f x x x x x x ==∂∂=++∂∂∂∑∑其中是算子的函数111(1,2)(),nnni i ii ii i i i i i L u f in L c u c L u c f=====⇒==∑∑∑命题：21110(1,2),,()0,nnii i i i i i i i i i k j u Lu i c u c L c u x x ∞===∂==⇒=∂∂∑∑∑一致敛命收题：(2.) 齐次化原理（冲量原理）Duhamel 原理：设(,,)x t ωτ是方程22222,,(,)(,)0,(,),a x t t x x x f x x t ωτωτωττω⎧∂∂=-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解，⇒0(,,)d ,()t x t u x t ωττ=⎰是方程22222(,),,0(,0)(,0)0,0,u u a f x t x t tx u x u x x t ⎧∂∂=+-∞<<+∞>⎪∂∂⎪⎨∂⎪==-∞<<+∞⎪∂⎩的解。

【典型习题】1：长为l 的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流q 进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为q ），杆的初始温度分布是()2x l x -，试写出相应的定解问题 解：初始条件：0()|2t x l x u =-=， 杆的初始温度分布是()2x l x -，边界条件： 0|0x u ==由杆的一端温度为零x lu k q x=∂-=-∂，杆的另一端有恒定热流q ，u u n x∂∂=∂∂）（Fourier 实验定律 故定解问题为：22200()|2|0,t x x lu u a t x x l x u u u k qx ===⎧∂∂=⎪∂∂⎪-⎪=⎨⎪⎪∂==⎪∂⎩该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题3：长为l 的弦两端固定，开始时在x c =受冲量k 的作用，试写出相应的定解问题解：设弦的两端为：0x x l ==，由题意有弦的振动方程为 2222u ua t x∂∂=∂∂ (0)x l << 边界条件为：0||0x x l u u ==== 初始条件为：0|0t u ==在点x c =，取小段 c x c -≤≤+δδ （δ是无穷小量），由冲量定理有0|2t t k u δρ== ，(冲量=动量改变量) ()ρ是弦的质量密度； ∴ 0|,2||t t k u x c =-≤=δρδ于是，()00||,|0,||.2t t x c u kx c =->⎧⎪=→⎨-≤⎪⎩δδδδρ故定解问题为22220000|||0,|||2|0,|0t t t x x l u u a t x x c u u kx c u u δδδρ====⎧∂∂=⎪∂∂⎪->⎪⎧⎪⎪==⎨⎨-≤⎪⎪⎩⎪==⎪⎪⎩，，该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问题 5、 若(),()F z G z 是两个任意二次连续可微函数，验证()()u F x at G x at =++-满足方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ 解：由题意有 []u a F G t ∂''=-∂ 及 222[]ua F G t∂''''=-∂ u F G x ∂''=+∂ 及22uF G x∂''''=+∂可得 22222u u a t x∂∂=∂∂ 二、偏微分方程的精确解求法1. 分离变量法（有界区域内/齐次边界；周期边界）Bessel 函数及Legendre 函数2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）3. 积分变换法（Fourier 变换Laplace 变换）Fourier 变换:针对整个空间 ，奇：正弦变换 偶：余弦变换 Laplace 变换：针对半空间 4. Green 函数及基本解法1、 分离变量法，有界区域内（1） 齐次方程+齐次边界条件分离变量法步骤：（i ）分离变量：设方程试探解(,)()()u x t X x T t =,代入方程 （ii ）求解本征值问题 （iii ）叠加原理求通解 （iv ）初始条件求定解 常用的本征值问题：2''0(),sin 1,2,(0)()0n X X n n X x n X X l l l λππλ+=⎧===⎨==⎩，，2''021(21)(),sin 0,1,2,(0)'()022n X X n n X x n X X l l l λπλπ+=⎧++===⎨==⎩，，2''021(21),(),cos 0,1,2,'(0)()022n X X n n X x n X X l l l λπλπ+=⎧++===⎨==⎩，2''0(),cos 0,1,2,'(0)'()0n X X n n X x n X X l l l λππλ+=⎧===⎨==⎩，，题型：2222202000,0|0;0|2;,0.x x lt t x l t u u x uu x l x t u u a tx ====∂∂=⎧<<>⎪⎪⎪∂⎪==⎨∂⎪⎪∂⎪=-∂=⎩∂∂⎪222,0,0,(,)((,),0)(),0(0,),0,00x l t u x x x l u u l t hu l u u a t x t x t t ϕ∂∂=⎧<<>⎪⎪⎪=≤≤⎨∂∂∂+=∂⎪⎪=>⎪⎩2222,0,0(,0)0,(,)0,0(0,)0,(,)(),00x a y b u x u x b y b u uu y u a y f y x a x y ⎧<<<<⎪⎪⎪==∂∂+=∂∂≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩（2） 非齐次方程+齐次边界条件分离变量法 1) 本征函数法2) 冲量定理法（非齐次波动<扩散>方程；定解条件都是齐次）设(,,)v x t τ是方程200,0,0,0,0,(,),0tt xx x x l t t t v a v x l t v v t v v f x x lτττττ====⎧-=<<>⎪⎪==>⎨⎪==<<⎪⎩的解，则0(,)(,;)t u x t v x t d ττ=⎰是方程2000(,)0,00,0tt xx x x l t t t u a u f x t u u u u ====⎧-=⎪⎪==⎨⎪==⎪⎩的解。

（3） 周期性条件的定解问题的分离变量法22202222202220,(,)x y u u x y x y u F x y u ρρ+=⎧∂∂=+=+<=∇⎪∂∂⎨⎪⎩()()022022200,02|,02;(,)(,2),l 11i (,),0m u u u f u uu u ρρρρρρρρρθπθθπρθρθπρθθ=→⎧⎪<<<<⎪⎪⎪⇒=≤≤⎨⎪=+⎫⎪⎪⎬⎪<+∞⎪⎪⎭∂∂∂++=∂∂∂⎩周期条件自然边界条件有界条件（4） 非齐次边界条件分离变量法---函数代换102002()((,())))(x x l ttxxt t t x u a u u t u f x t u t x u x μμϕψ====⎧-===⎪⎨⎪==⎩例 (,)(,)(,)()u x t v t x x w t =+选取设(,)()(),w x t A t x B t =+满足00,xx l x v v ====121(,)()()(),w x t t x t t l μμμ∴=+- 1)12210(),()(,)()(),x x x lu t u t w x t t x t μμμμ====⇒=+2)121210(),()(,)()()(),x l x x u t u t w x t t x t t l μμμμμ====⇒=+-3)2211210()()(),()(,)()xxx x lt t u t u t w x t x t x lμμμμμ==-==⇒=+4)12(,),(),(),(,)(,()()).f x t t t t u w x v x t x t μμ=-当与非齐次边界均与无关时选取 【例题23】 求解一端固定，一端作周期运动t ωsin 的弦的振动问题．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤====><<=====l x u u t u u t l x u a u t t t l x x xx tt 00,0sin ,00,00002ω解 令(,)(,)(,),u x t v x t w x t =+取t a l xa t x W ωωωsin sin sin),(=将原问题边界条件齐次化⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-====''=''====ωωωa l x a v v v v v a v t t t l x x xx tt sin sin ,00,0002 用分离变量法解齐次方程第一类齐次边界定值问题 （i ）变量分离，令(,)()()v x t X x T t =代入方程，得''2''()()()()X x T t a X x T t =将上式分离变量，有22()()()()X x T t X x a T t λ''''==- ∴ ''20X X λ+=，''2()0T a T λ+=（ii ）求解本征值问题：由方程''20X X λ+=可知()cos sin X x A x B x λλ=+它满足边界条件：(0)0,(1)0X X ==，∴0,,(1,2,)n n n A n lπλ=== 即得一族非零解()sin ,(1,2,)n n X x x n lπ== 将n λ代入方程''2()0T a T λ+=中，得其通解为()cos sin ,(1,2,)n n n n n T t C a t D a t n λλ=+=（iii ）由叠加原理，得通解。