偏微分方程数值解试题(06B)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x fqu dxdu p dx d Lu其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间.取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y ux u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。
解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为02221,1,2,1,1=+-++-+--+h u u u h u u u k j jk k j kj jk k j (5分)应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y ux u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152/12L A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]L =0 00 00 0 0 u=(3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----B II B II B,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分) 评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B 的形式2分四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<+∂∂=∂∂T t t u t u x x x u Tt x bu x ua tu 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ （1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点对称格式(Nicolson Crank -格式) 并写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为k j kj x k jk j bu u hau u +=-+2211δτ, (5分) 应用Taylor 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x u ah t u kj k j ++∂∂-∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分)(2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分) (3) 格式为)(2))1((11221k j k j kj k j x k jk j u u b u u ha u u ++-+=-+++θθδτ, (3分) 低阶项归入)(τO 中,格式是无条件稳定的. (2分)五（10分）、逼近0=∂∂+∂∂xu t u 的三层差分格式0221111=-+--+-+h u u u u n j n j n j n j τ 分析格式的稳定性解:计算形式为1111)(--+++--=n j n j n j n j u u u r u (2分)此为三层格式,化为两层格式.令n j n j u v =+1,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-++nj n jnjn j n j n j u v v u u r u 1111)( (4分) 令jhi n n j jh i n n j ew v e w u αα21,==,代入格式,消去公因子,得到 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n w w h ir w w 211211011sin 2α (2分) 放大矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011sin 2hi r G α,特征方程为λαλλ11sin 2||--+=-hi r G E 01sin 22=-+=λαλhi r ,i hr h r 2sin 44sin 2222,1ααλ-±-=121=λλ,1|}||,m ax {|21≤λλ的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即0sin 4422≥-=∆h r α.考虑到α的变化,稳定条件为1≤r (2分)六（10分）、建立波动方程22222xu a t u ∂∂=∂∂的初值问题的显格式，推导截断误差,推导格式稳定的必要条件.解:差分格式为nj x n jn j n j u ha u u u 22221112δτ=+--+, (3分)截断误差为)(121442442244h O h x u a t u njnj ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ττ,阶为)(22h O +τ (3分) 分析稳定性必要条件 (4分)七（10分）、对于二维抛物型方程)(2222y ux u a t u ∂∂+∂∂=∂∂建立Nicolson Crank -差分格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
解: 差分格式为)(121221++++=-n jk y n jk x njkn jk u u ha u u δδτ(4分) 误差阶为)(2h O +τ (3分)放大因子为2sin 42sin 411),,(22hr h r G βατβα++=,恒稳定. (3分)八.用Galerkin Ritz -方法求边值问题 ⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw (3分)第n 次近似n w 取为∑==ni i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x ca j ni iji,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ (3分)又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i j i j i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(10121''⎰-+πππjx ix sin sin 21 由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(312--=-=-⎰j j j dx x j x x x x ππϕ于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ (4分)。