偏微分方程数值解试题1、考虑一维的抛物型方程:2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)()x x u ux t xu x t u u x t u u x x ππνπϕ==∂∂=∈≤≤∂∂=== (1)导出时间离散是一阶向前Euler 格式,空间离散是二阶精度的差分格式;(2)讨论(1)中导出的格式的稳定性; (3)若时间离散为二阶精度的蛙跳格式,112n n n t t u u u t t+-=∂-=∂∆ 空间离散是二阶精度的中心差分,问所导出的格式稳定吗?为什么?2、考虑Poission 方程2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CDu x y x y unu x y -∇=∈Ω∂=∂= 其中Ω是图1中的梯形。
使用差分方法来离散该方程。
由于梯形的对称性,可以考虑梯形的一半,如图2,图1 梯形为了求解本问题,采用如下方法:将Ω的一半投影到正方形区域ˆΩ,然后在ˆΩ上使用差分方法来离散该方程。
在计算区域ˆΩ上用N N ⨯个网格点,空间步长为1/(1)N ξη∆=∆=-。
(1)引入一个映射T 将原区域Ω(带有坐标,x y )变换到单位正方形ˆΩ(带有坐标,ξη)。
同时导出在新区域上的方程和边界条件。
(2)在变换区域,使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。
3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x∂∂+=∂∂,其一阶迎风有限体积法离散格式为 1ˆn j u +=ˆnj u a t x∆-∆(ˆn j u 1ˆn j u --)(1)写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式;(2)写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。
(3)使用0 u uu t x∂∂+=∂∂说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。
4、对一维Poission 方程, (0,1)(0)(1)0x xx u xe x u u ⎧-=∈⎨==⎩ 将[]01,分成(1)n +等分,写出用中心差分离散上述方程的差分格式,并问: (1)该差分格式与原微分方程相容吗?为什么? (2)该差分格式稳定吗?为什么?(3)该差分格式是否收敛到原微分方程的解?为什么? (4)取(1)6n +=,写出该差分格式的矩阵表示。
5、叙述二重网格方法的执行过程,并对一维常微分方程边值问题225, (0,1)(0)(1)0xx u x x x u u πππ⎧-=∈⎨==⎩(sin(5)+9sin(15)) 给出限制算子和延拓算子矩阵(以细网格h :7n =,粗网格2h :3n =为例)。
6、对一阶波动方程01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π∂∂⎧+=⎪∂∂⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎪⎩(1)写出用中心差分进行空间离散,用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式;(2)使用线方法,分析上述格式的稳定性。
7、考虑散热片的设计问题。
二维散热片如图3所示,是由一个中心柱和4个水平的子片构成;散热片从底部root Γ的均匀通量源通过大表面的子片散热到周围的空气中。
散热片可由一个5维参数向量来表示,125(,,,)μμμμ=L ,其中,1,,4iik i μ==L ,和5Bi μ=;μ可取给定设计集5D ⊂¡中的任意值。
i k 是第i 个子片热传导系数(01k ≡是中柱的热传导系数);Bi 是Biot 数,反映在散热片表面的对流输运的热传导系数(大的Bi 意味好的热传导)。
比如,假定我们选择散热片具有如下参数12340.4,0.6,0.8, 1.2,0.1k k kk Bi =====,此时(0.4,0.6,0.8,1.2,0.1)μ=。
中心柱的宽度是1,高度是4;子片的厚度0.25t =,长度 2.5L =。
我们将输出温度root T 看作是125(,,,)μμμμ=L 的函数,其中输出温度root T 是散热片底部定常态温度的均值,输出温度root T 越低,散热效果越好。
在散热片内定常态温度分布()u μ,由椭圆型方程控制其中i u 是u 在iΩ的限制,i Ω是热传导系数为,0,,4ik i =L 的散热片的区域:0Ω是中心柱,,1,,4i i Ω=L 对应4个子片。
整个散热片区域记为Ω,Ω的边界记为Γ。
为确保在传导系数间断界面0int ,1,,4i ii Γ=∂Ω⋂∂Ω=L 上温度和热通量的连续性,我们有这里ˆin是i∂Ω的外法线。
在散热片的底部引入Neumann 边界条件来刻画热源;一个Robin 边界条件来刻画对流热损失,其中iext Γ是iΩ暴露在流体流动中的边界部分,40\i extroot i =Γ=ΓΓU。
在底部的平均温度0()(())root T l u μμ=,其中0()rootl v v Γ=⎰。
在这个问题中,我们取0()()l v l v =。
(1)证明1()()u X H μ∈≡Ω满足弱形式其中(2)证明()u X μ∈是()J w 在X 中取得极小值的变量(3)考虑线性有限元空间找()h h u X μ∈,使得此时运用通常的节点基,我们得矩阵方程其中n 是有限元空间的维数。
请推导出单元矩阵33kh A ⨯∈¡,单元荷载向量3k h F ∈¡,单元输出向量3k h L ∈¡;并且描述从单元量获得总矩阵,,h h h A F L 的程序。
8、考虑Poisson 方程2(,)1, (,)(,)0u x y x y u x y ∂Ω-∇=∈Ω=其中Ω是单位正方形,定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdAl v vdAΩΩ=∇⋅∇=⎰⎰若2()u C ∈Ω,且u 是上述Poisson 方程的解, (1)证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点,其中 1()(,)()2J w a w w l w =- (2)证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈ (3)作图示均匀三角形剖分,步长13h =,写出下列节点编号所对应的刚度矩阵和荷载向量。
(a)节点编号顺序为11211222(,), (,), (,), (,) 33333333 (b) 节点编号顺序为12211122(,), (,), (,), (,) 33333333(4)假定基函数和节点有同样的编号,写出节点为22(,) 33的节点基函数。
9、考虑一维的poisson 方程2(3), (0,1)(0)(1)0x xx u x x e x u u -=+∈==将(0,1)区间分成1n +等份,用中心差分离散二阶导数,完成下列各题:(1) 写出该问题的矩阵形式的离散格式:ˆAuf =; (2) 记{}11,iji j n Aα-≤≤=,证明·非负性 0, 1,ij for i j n α≥≤≤ ·有界性 110, 18Nij j for i n α=≤≤≤≤∑10、交通流问题可用如下的非线性双曲型方程来刻划0u t xρρ∂∂+=∂∂ 其中(,)x t ρρ=是汽车密度(每公里汽车的辆数),(,)u u x t =是速度。
假定速度u 是密度ρ的函数:max max1u u ρρ⎛⎫=-⎪⎝⎭其中max u 是最大速度,max 0ρρ≤≤。
max max ()1f u u ρρρρρ⎛⎫==- ⎪⎝⎭用如下的Roe 格式11122n nn ni i i i t F F x ρρ++-⎛⎫∆=-- ⎪ ⎪∆⎝⎭其中[]11112211()()()22n i i i i i i F f f a ρρρρ++++=+-- 11max max2(1)i i i au ρρρ+++=-求解下列绿灯亮了问题: 此时初始条件为,0(0)0, 0L x x ρρ<⎧=⎨≥⎩一些参数如下:max max max40.81,0.8,1,,400L x u x t u ρρ∆===∆=∆=。
(1) 给出2t =时问题的解;(2) Roe 格式满足熵条件吗?为什么? 11、考虑1D 常微分方程两点边值问题1, (0)(1)0xx u u x u u -+=∈Ω==其中 (0,1)Ω=,定义空间和泛函{}110()()0X H v H v ∂Ω=Ω=∈Ω=(,)()a u v u vdA uvdAl v vdAΩΩΩ=∇⋅∇+=⎰⎰⎰若2()u C ∈Ω,且u 是上述1D 常微分方程两点边值问题的解, (1)证明u 为()J w 在空间X 上的极小值点,其中 1()(,)()2J w a w w l w =- (2)证明u 满足弱形式(,)(), a u v l v v X =∀∈(3)将 (0,1)Ω=均匀剖分成1n +等份(比如9n =),,0,1,,1i x ih i n ==+L ,记第k个三角单元1(,),1,,1kh k k T x x k n -==+L ,写出节点编号为3所对应的节点基函数及第3个单元所对应的刚度矩阵和荷载向量。
(4)写出9n =时,该问题有限元离散所对应的线性方程组。