概率统计复习题（同济大学浙江学院）一、知识要点 1.古典概率计算公式设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为().A A n P A n ⎛⎫= ⎪ ⎪Ω⎝⎭概率公式⑴和的概率公式 ()()()().P A B P A P B P AB =+-当,A B 互不相容时()A B ⇔=∅ ()()().P A B P A P B=+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ⇔= ()()()()().P A B P A P B P A PB=+-⑵条件概率公式 ()()()|.P AB P A B P B =⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则()()()1|;ni i i P B P A P B A ==∑()()()(|)|.i i i P B A P A P A B P B =2.6个常用分布和数字特征 名称分布形式期望方差()2E X 01-p()1p p -p 二项分布 ()()1n kk kn P X k C p p -==-np()1np p -np泊松分布()e !kP X k k λλ-==λ λ2λλ+均匀分布()1, ,0, else.a xb f x b a⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 2a b+ ()212b a -指数分布()e , 0,0, else.x x f x λλ-⎧>=⎨⎩1λ21λ 22λ 正态分布()()2221e 2πxf x μσσ--=μ2σ 22σμ+3.正态分布概率计算⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞-∞-∞==⎰⎰随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ⇔= 5.数字特征 ⑴数学期望①离散型 ()1.ni i i E X x p ==∑②连续型 ()()d .E X xf x x ∞-∞=⎰③函数的期望离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()1.ni i i E Y g x p ==∑连续，设X 是连续随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则()()()d .E X g x f x x ∞-∞=⎰二维连续型 设(),X Y 是二维连续型随机变量，(),f x y 是其联合密度函数，(),Z g x y =为随机变量的函数，则()()()d ,,d .E Z x f x y g x y y ∞∞-∞-∞=⎰⎰④期望性质 ()()();E aX bY aE X bE Y +=+ 当,X Y 独立时， ()()().E XY E X E Y = ⑵方差①计算公式 ()()()22;D X E X E X =-②方差性质 当,X Y 独立时，()()()22.D aX bY a D X b D Y +=+ ⑶协方差 设(),X Y 为二维随机变量，协方差为()()()()cov ,,X Y E XY E X E Y =-此时有 ()()()()2cov ,.D X Y D X D Y X Y ±=+±⑷相关系数 设(),X Y 为二维随机变量，相关系数为()()()()cov ,,.X Y X Y X Y ρσσ=6.中心极限定理设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==则()1lim .n i i n X n P x n μσ=→∞⎛⎫- ⎪⎪=Φ ⎪⎪⎝⎭∑ 即 ()()1.ni i X n P a b b a n μσ=⎛⎫- ⎪ ⎪<<≈Φ-Φ ⎪⎪⎝⎭∑ 6.统计量⑴样本均值 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==()()211,,,ni i i i E X D X X X n μσ====∑则()()21,.E X D X n μσ==②样本方差 22221111(),().1n n i n i i i S X X S X X n n ===-=--∑∑ 关系 2222211,().1n nn n i i i i n S S nS X X X nX n ====-=--∑∑⑵2χ分布 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()0,1,i X N 21ni i X =∑服从自由度为n 的2χ分布.结论 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()20,,i X N σ 21nii c X=∑服从自由度为n 的2χ分布21.c σ⇔=⑶t 分布 若()()20,1,,X N Y n χ 则()/Xt n Y n7.估计量与估计方式 ⑴矩估计与矩估计方法⑵极大似然估计与极大似然估计方法 设总体()2,,X N μσ结论 X 是总体参数μ的极大似然估计；当μ已知时，211()ni i X n μ=-∑是2σ的极大似然估计，当μ未知时，211()ni i X X n =-∑是2σ的极大似然估计.⑶无偏性若ˆθ是θ的估计量，且()ˆE θθ=，称ˆθ是θ的无偏估计. 结论 2S 是2σ的无偏估计.⑷四种情况下的单正态总体的区间估计①2σ已知时μ的区间估计：1/21/2,X u X u n n αασσ--⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②2σ未知时μ的区间估计：()()1/21/21,1S S X t n X t n n n αα--⎡⎤--+-⎢⎥⎣⎦③μ已知时2σ的区间估计()()2211221/2/2()(),n ni i i i X X n n ααμμχχ==-⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑ ④μ未知时2σ的区间估计()()()()22221122221/2/21/2/2()(),,1111n ni i i i n n X X X X nS nS n n n n ααααχχχχ==--⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑ 二、填充题1. 设,A B 为二个随机事件, ,B A A B ⊂= 则Ω, ()P A B = 1 .2. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则3个数中不含1的概率为343525C C =.3. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为33139=. 4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被命中的概率为()()110.610.50.8---=, 现已知目标被命中, 则是甲命中的概率为0.60.750.8=.5. 设()()0.4,0.7,P A P A B == 若A 与B 互不相容,则()P B = 0.3,()P A B -=()()0.4P A P AB -=； 若A 与B 相互独立,则()P B = 0.5 ,()P A B -= 0.2 . 6. 设,,A B C为三个随机事件,已知()()()1,4P A P B P C ===()()()1,016P AB P BC P AC ===,则,,A B C 至少有一发生的概率()P A B C = 58, ,,A B C 都不发生的概率()P ABC =38.7. 设()()()111,,,432P A P B A P A B ===则()P A B = 13；()P AB = 1/12 . 8. 设随机变量X 只可能取-1,0,1,2这4个值, 且取这4个值的概率依次为1357,,,24816c c c c,则常数c =37169. 设X 服从参数为λ的泊松分布(λ＞0),且()()102,2P X P X ===则λ= 2 ,()2E X = 6 .10. 设随机变量()2~3,0.2,,X B Y X =则()4P Y ==()20.096P X ==. 11. 设随机变量X 的分布律为且2,Y X Y =的概率函数为01433781616Y P,Y 的分布函数为()Y F y ,则()3Y F = ()9316P Y ≤=.12.设随机变量X 的分布律为X -2 1x P14p14且()1,E X =则x = 4 .13.设随机变量,X Y 相互独立,()()~16,0.5,~9,X B Y P 则)21E X Y -+=-9,()21D X Y -+=()()440D X D Y +=.14. 设随机变量X 的分布函数()F x =201e ,00,x x x -≥⎧-⎨<⎩,其密度函数为()f x ,则()2f =42e -.X -1(1) 0(0) 1(1) 2(4)P 1838 116 71615.设随机变量X 的密度函数为()f x = 1,20,a x aa ⎧-<<⎪⎨⎪⎩其余, 其中0a >,要使()1P X >=31,则a = 3 .16.设随机变量X 的密度函数为()()221ex x f x A --+=,则A =1π,~X 11,2N ⎛⎫⎪⎝⎭,()2E X = ()()232D XE X +=⎡⎤⎣⎦,()1P X >=0.5 ,令()21Y X =-,则Y 的密度函数()Y f y =221,2πy e y --∞<<+∞. 17.随机变量()1,1,1,4,9,2X Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,则()X f x =()2181e ,8πx x ---∞<<+∞,()Y f y =()21181,18πy e y ---∞<<+∞,)cov ,X Y = 3 ,()D X Y += 19 ,()D X Y -=7 .18. 已知()()()25,1,,0.4D X D Y X Y ρ===,则()D X Y += 30 ,()D X Y -= 22 .19.设总体()()18~1,3,,,X R X X - 是来自总体X 的样本, X 为样本均值, 则E ()X =()1E X =,()D X =()116D X n =, ()2E S = 43. 20.设独立同分布的随机变量序列1,,,n X X ()()2,,,i i E X D X μσ==则1lim n i n i P X n n μσ→∞=⎧⎫-≤=⎨⎬⎩⎭∑()11211ni i X n P n μσ=⎛⎫- ⎪⎪≤≈Φ- ⎪ ⎪⎝⎭∑. 21.设总体()()170,0.25,,,X N X X 是来自总体X 的样本, 要使α721ii X =∑～()2n χ, 则α= 4 ,自由度 7n = . 22.设总体()()2123,,,,X N X X X μσ 是来自总体X 的样本,则当α= 0.5 时,1231136X X X μα=++是未知参数μ的无偏估计.23.用天平称量某物体的质量9次,得(),4.15g x =已知秤重结果服从N （21.0,μ）,则μ的置信度为0.95的置信区间为[]15.335,15.465. 三、计算题1. 罐中有12粒围棋子,其中8粒白的,4粒黑的,从中任取3粒,求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到2粒白子,1粒黑子的概率；（3）至少取到1粒黑子的概率；（4）取到3粒颜色相同棋子的概率.解：3321331288484,,,,A B C A D n C n C n C C n n n n C C ====-=+ ()()()()1428413,,,55555511P A P B P C P D ==== 2. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4,问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？ 解：()()()250.425|200.5200.8P X P X X P X >>>===>3. 某小组共10人,得到一张足球票,他们决定用摸彩来决定谁去看球赛,（1）已知前4人都没有摸到,求第5人摸到的概率；（2）求第5人摸到的概率.解：()()()512345111|,610P A A A A A P A P A ===4. 某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品,将这些产品混合在一起,今随机地取一产品,问它是次品的概率是多少？又问这次品是由哪台机器生产的概率最大？ 解：()()()()()()()112233|||0.0345P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=()()()()()()()()()()()()111222333|25|69|28|69|16|69P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B ======5. 有两箱同种类型的零件,第一箱装10只零件,其中5只一等品；第二箱装10只零件,其中6只一等品.今从两箱中任选一箱,然后从该箱中取零件两只,求（1）取到的两只零件都是一等品的概率；（2）在取到的两只零件都是一等品的条件下,求二两零件是取自第一箱的概率.解：()()()()()11222256221010||111541655222109210918P B P A P B A P A P B A C C C C =+⨯⨯=⋅+⋅=⋅+⋅=⨯⨯()()()()1111|29|5518P A P B A P A B P B ===6. 一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻,每个设备被使用的概率为0.1,问同一时刻,（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？解：()~5,0.1X B ,由计算公式()()1.n kk kn P X k C p p -==-()20.0729P X ==,()30.0085P X ≥=,()30.9995P X ≤=,()()1100.4095P X P X ≥=-==7. 15个同类型的零件中有2个是次品,从中不放回地抽取产品,每次一个. （1） 抽取3次,以X 表示取出的次品数,求X 的概率函数和分布函数； （2） 以Y 表示直到取得正品为止抽取的次数,求Y 的概率函数.解：（1）0121312112213122121321133151413351514133515141335rXP ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=()0, 022,013534,12351, 2x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩（2）123132132111515141514YP ⋅⋅⋅8. 一口袋中装有5只乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示3个球中的最大号码,以Y 表示3个球中的最小号码,（1）分别求出,X Y 的概率函数和分布函数,（2）求出,X Y 的联合概率函数.解：222222332442333333555555345123136631,101010101010rr XY C C C C C C P P C C C C C C ====== ()()0, 30, 116,34,121010,49,45,2310101, 51, 3x y x y F x F y x y x y <<⎧⎧⎪⎪⎪⎪≤<≤<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪≤<≤<⎪⎪⎪⎪≥≥⎩⎩\123130010214010103215101010X Y 9. 设每分钟通过某交通道口的汽车流量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有三辆车通过的概率.解：()()011P X P X λ===⇒=,()()1531212P X P X e -≥=-≤=-10. 抛3次均匀硬币,以X 表示正面向上的次数,以Y 表示正面向上次数与反面向上次数差的绝对值,（1）求(),X Y 的联合分布律和边缘分布律；（2）,X Y 是否相互独立,为什么？（3）求()()(),,cov ,.E X D X X Y解：（1）01231~3,,133128888rXX B P ⎛⎫ ⎪⎝⎭\13100813310, 3184432081308rX Y Y P （2）()()()0,1001,,P X Y P X P Y X Y ===≠==所以不相互独立。