讨论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 ）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、总机械能均随x, 作周期性变化 且变化是同 作周期性变化， 势能、总机械能均随 t作周期性变化，且变化是同 相位的 相位的. 体积元在平衡位置时，动能、 体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 均最大 体积元的位移最大时，三者均为零. 体积元的位移最大时，三者均为零
第十六章 机械波动理论 弹性势能
16-3 波的能量 能流密度 16O O
1 2 dW P = k (dy ) 2 dy F 胡克定律 =Y S dx
x
F
dx
SY k= F = YS dx dx 2 1 1 Y dy 2 dW P = k (d y ) = YS d x u= 2 2 ρ dx ∂y ω 1 dy 2 x 2 = ρu dV ( ) = A sin ω (t − ) 2 dx ∂x u u 1 x 2 2 2 = ρdVA ω sin ω (t − ) 2 u
16-3 波的能量 能流密度 16-
s2
s1
r1
r2
即
w 1 uS1 = w 2 uS2 1 1 2 2 2 ρ A1 ω u 4π r1 = ρ A22ω 2 u 4π r22 2 2 A0 r0 r A1 r2 y= cos ω (t − ) = r u A2 r1
处的振幅。 式中r为离开波源的距离， 式中 为离开波源的距离，A0为r=r0处的振幅。 为离开波源的距离
O O
x
dx
x
y + dy
y
x
第十六章 机械波动理论
16-3 波的能量 能流密度 16-
O O
x
dx
x
y + dy
y
x
1 1 2 dWk = (dm )v = (ρdV )v 2 2 2 ∂y x x y = Acosω(t − ) ∴ v = = −ωA sin ω (t − ) ∂t u u 1 x 2 2 2 dWk = ρdVA ω sin ω (t − ) 振动动能 2 u
P = w uS
能流密度(波的强度 能流密度 波的强度)I: 波的强度 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流. 位面积的平均能流
v u
P I = = wu S
udt
S
v 1 2 2v I= ρA ω u 2
单位： 单位： W/m2
第十六章 机械波动理论 例 证明球面波的振幅与 离开其波源的距离成反比， 离开其波源的距离成反比，并 求球面简谐波的波函数。 求球面简谐波的波函数。 介质无吸收， 证：介质无吸收，通过 两个球面的平均能流相等。 两个球面的平均能流相等。
dW x 2 2 2 = ρA ω sin ω (t − ) w= dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值 平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值. 能量密度
1 T 1 2 2 w = ∫ wdt = ρω A T 0 2
第十六章 机械波动理论
Hale Waihona Puke 16-3 波的能量 能流密度 16-
二 能流和能流密度 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量 P = wuS 平均能流： 平均能流：
y y + dy dy
x F+dF x
第十六章 机械波动理论
16-3 波的能量 能流密度 16-
1 x 2 2 2 d W k = d W p = ρ d VA ω sin ω (t − ) 2 u
x dW = dWk + dWp = ρdVA ω sin ω (t − ) u
2 2 2
体积元的总机械能
第十六章 机械波动理论 一 波的能量
16-3 波的能量 能流密度 16-
当机械波在媒质中传播时， 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点均在 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 其平衡位置附近振动，因而具有振动动能 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能 同时，介质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播. 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播
第十六章 机械波动理论
2 2
16-3 波的能量 能流密度 162
x d W = ρ d VA ω sin ω (t − ) u
2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， ） 任一体积元都在不断地接收和放出能量， 即不断地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。 即不断地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。 波动是能量传递的一种方式。 波动是能量传递的一种方式。 能量密度：介质中单位体积的波动能量。 能量密度：介质中单位体积的波动能量。
第十六章 机械波动理论
16-3 波的能量 能流密度 16-
钢轨中声速为5.1× 例16-4 钢轨中声速为 ×103m·s-1。今有一声波沿钢 轨传播，在某处振幅为1× 轨传播，在某处振幅为 ×10-9m，频率为 ×103Hz。 ，频率为1× 。 钢的密度为7.9× 钢轨的截面积为15cm2。 钢的密度为 ×103kg·m-3，钢轨的截面积为 (1) 试求该声波在该处的强度； 试求该声波在该处的强度； (2) 试求该声波在该处通过钢轨输送的功率。 试求该声波在该处通过钢轨输送的功率。 解： (1) 由强度公式
1 2 2 −4 2 I = ρA ω u = 8.0 ×10 W ⋅ m 2
(2) 通过该处的功率
1 P = wuS = ρA 2ω 2 uS = IS = 1.2 ×10 −6 W 2
作业题： 作业题：16-6