全同粒子体系习题解 -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 第六章 全同粒子体系习题解 1．求在自旋态)(21zS中，xSˆ和ySˆ的不确定关系：?)()(22yxSS 解：在zSˆ表象中)(21zS、xSˆ、ySˆ的矩阵表示分别为

01)(21zS 01ˆ102xS 002ˆiiSy ∴ 在)(21zS态中 00101102)0 1(2121xxSS

4010110201102)0 1(ˆ2222121xxSS

4)(2222xxxSSS 001002)0 1(ˆ2121iiSSyy



401002002)0 1(ˆ2222121iiiiSSyy

4)(2222yyySSS 16)()(422yxSS 讨论：由xSˆ、ySˆ的对易关系 [xSˆ，ySˆ]zSi

ˆ

要求4)()(2222zyxSSS 16)()(422yxSS ① 在)(21zS态中，2zS ∴ 16)()(422yxSS 可见①式符合上式的要求。 2．求002ˆ01102ˆiiSSyx及的本征值和所属的本征函数。

解：xSˆ的久期方程为 022 20)2(22

∴ xSˆ的本征值为2。 设对应于本征值2的本征函数为 112/1ba 由本征方程 2/12/12ˆxS ，得 1111201102baba 111111 abbaab



由归一化条件 12/12/1，得 1),(11*1*1aaaa 即 1221a ∴ 21 2111ba 对应于本征值2的本征函数为 11212/1 设对应于本征值2的本征函数为 222/1ba 由本征方程 222/12/12ˆbaSx 222222 abbaab 由归一化条件，得 1),(22*2*2aaaa 即 1222a ∴ 21 2122ba 对应于本征值2的本征函数为 11212/1 同理可求得ySˆ的本征值为2。其相应的本征函数分别为 i12121 



i1

21

21

3．求自旋角动量)cos,cos,(cos方向的投影 cosˆcosˆcosˆˆzyxnSSSS 本征值和所属的本征函数。 在这些本征态中，测量zSˆ有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现zSˆ的平均值是多少

解：在zSˆ 表象，nSˆ的矩阵元为 cos10012cos002cos01102ˆiiS

n





coscoscoscoscoscos2ii

Sn



其相应的久期方程为 0cos2)cos(cos2)cos(cos2cos2i

i

即0)cos(cos4cos4222222 0422 )1coscoscos(222利用

 2



所以nSˆ的本征值为2。 设对应于2nS的本征函数的矩阵表示为baSn)(21，则 



babaii2coscoscoscoscoscos

2

 bbiacos)cos(cos cos1coscosi

b

由归一化条件，得22**),(12121bababa 1cos1coscos222aia



1cos122a



)cos1(2coscos1cos1)(21iSn



)cos1(2coscos1cos1)(21iSn

2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21

i

iSn

2121)cos1(2coscos2cos110)cos1(2coscos012cos1)(21

i

iSn

可见， zSˆ的可能值为 2 2 相应的几率为 2cos1 2cos1)cos1(2coscos22 cos22cos122cos12zS

同理可求得 对应于2nS的本征函数为



)cos1(2coscos2cos1)(21iSn

在此态中，zSˆ的可能值为 2 2 相应的几率为 2cos1 2cos1 cos2zS

讨论：算符zSˆ的本征值为2，而z方向为空间的任意方向。现在把z方向特别选为沿n方向（这相当于作一个坐标旋转），则nSˆ的本征值也应为2。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择nz//并不影

响结果的普遍性。 同理yxSSˆˆ和的本征值也都是2。

我们也可以在nSˆ为对角矩阵的表象中（nS表象）求本征矢。显然这时nSˆ的知阵为







200

2



所以本征矢为1001及 注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在nSˆ表象，而上面算出的zS是在2表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。 4．在z表象中，求n的本征态，)cos,sinsin,cos(sinn是),(方向的单位矢。

（解） 方法类似前题，设n算符的本征矢是： 21ccx (1)

它的本征值是。又将题给的算符展开： zyxnˆcosˆsinsinˆcossin (2) 写出本征方程式： 

2121ˆcosˆsinsinˆcossincccczyx (3)

根据问题（6）的结论，xˆ,yˆ对2ˆˆz的共同本征矢，，运算法则是 xˆ ， xˆ ， iyˆ ， iyˆ ， 

zˆ ， zˆ （4）

将这些代入（3），集项后，对此两边，的系数： 2211cos)sinsincos(sin)sinsincos(sincosccicic （5）

或 0)(cossin0sin)(cos2121ccececii （6） （6）具有非平凡解（平凡解01c ，02c）条件是久期方程式为零，即 0cossinsincosiiee它的解12 （7） 1 时，代入（6）得：

122

cetgci （8）

（1） 的归一化条件是： 12221cc 将（8）代入（9），得： 2cos)(1iec 2sin2iec 归一化本征函数是：

2sin2cos1iiee （10）