第六章 全同粒子体系习题解1.求在自旋态)(21z S χ中,xS ˆ与y S ˆ的不确定关系:?)()(22=y x S S ∆∆ 解:在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ 01ˆ102x S ⎛⎫= ⎪⎝⎭h ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002ˆi i S y η ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛==+ηχχx x S S 4010*********)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx xS S 4)(2222η=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y ηχχ 401002002)0 1(ˆ2222121ηηη=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S yyχχ 4)(2222η=-=∆yyy S S S 16)()(422η=∆∆y x S S讨论:由xS ˆ、y S ˆ的对易关系 [x S ˆ,y S ˆ]zS i ˆη= 要求4)()(2222z y x S S S η≥∆∆ 16)()(422η=∆∆y x S S ①在)(21z S χ态中,2η=z S ∴ 16)()(422η≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。
2.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=002ˆ01102ˆi i S S y xηη及的本征值与所属的本征函数。
解:xS ˆ的久期方程为022=--λληη20)2(22ηη±=⇒=-λλ∴ xS ˆ的本征值为2η±。
设对应于本征值2η的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/1b a χ 由本征方程 2/12/12ˆχχη=x S ,得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111201102b a b a ηη 111111 a b b a a b =⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件 12/12/1=+χχ,得 1),(11*1*1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛a a a a 即 1221=a ∴ 21 2111==b a对应于本征值2η的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11212/1χ 设对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-222/1b a χ 由本征方程 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--222/12/12ˆb a S x χχη222222 a b b a a b -=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒ 由归一化条件,得 1),(22*2*2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a a a a 即 1222=a ∴ 21 2122-==b a对应于本征值2η-的本征函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11212/1χ同理可求得yS ˆ的本征值为2η±。
其相应的本征函数分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i 12121χ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-i 12121χ 3.求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz y x n S S S S ++= 本征值与所属的本征函数。
在这些本征态中,测量z S ˆ有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z S ˆ的平均值就是多少？ 解:在z S ˆ 表象,nS ˆ的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηηηi i S n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=γβαβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n η 其相应的久期方程为0cos 2)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγηηηηi i即0)cos (cos 4cos 4222222=+--βαγληη0422=-ηλ )1cos cos cos (222=++γβα利用⇒ 2η±=λ所以nS ˆ的本征值为2η±。
设对应于2η=n S 的本征函数的矩阵表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a S n )(21χ,则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2ηηγβαβαγb b i a =-+⇒γβαcos )cos (cos γβαcos 1cos cos ++=i b由归一化条件,得22**),(12121b a b a b a +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχ 1cos 1cos cos 222=+++a i a γβα1cos 122=+a γ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(21γβαγχi S n 2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n2121)cos 1(2cos cos 2cos 110)cos 1(2cos cos 012cos 1)(21-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=χγβαχγγβαγχi i S n可见, zS ˆ的可能值为 22ηη- 相应的几率为 2cos 1γ+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++γγγcos 22cos 122cos 12ηηη=--+=z S同理可求得 对应于2η-=n S 的本征函数为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(21γβαγχi S n 在此态中,zS ˆ的可能值为 2 2ηη- 相应的几率为 2cos 1γ- 2cos 1γ+γcos 2η-=z S讨论:算符zS ˆ的本征值为2η±,而z 方向为空间的任意方向。
现在把z 方向特别选为沿n ρ方向(这相当于作一个坐标旋转),则n S ˆρ的本征值也应为2η±。
另外我们知道,本征值与表象的先取无关。
这样选择n z ρρ//并不影响结果的普遍性。
同理yx S S ˆˆ和的本征值也都就是2η±。
我们也可以在nS ˆ为对角矩阵的表象中(n S 表象)求本征矢。
显然这时nS ˆρ的知阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2002ηη所以本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001及注意到本征矢就是随着表象选取的不同而改变的。
现在就是在n S ˆρ表象,而上面算出的z S 是在2ηψ表象,算出的结果应用所不同,这就是合理的。
4.在z σ表象中,求n ρρ⋅σ的本征态,)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθn ρ就是),(ϕθ方向的单位矢。
(解) 方法类似前题,设n ρρ⋅σ算符的本征矢就是:βα21c c x += (1)它的本征值就是λ。
又将题给的算符展开:z y x n σθσϕθσϕθσˆcos ˆsin sin ˆcos sin ++=⋅ρρ (2) 写出本征方程式:()()()βαλβασθσϕθσϕθ2121ˆcos ˆsin sin ˆcos sin c c c c z y x+=+++ (3)根据问题(6)的结论,x σˆ,y σˆ对2ˆˆσσz 的共同本征矢α,β,运算法则就是 βασ=x ˆ , αβσ=x ˆ , βασi y =ˆ , αβσi y =ˆ , αασ=z ˆ , ββσ-=z ˆ (4) 将这些代入(3),集项后,对此两边α,β的系数:⎩⎨⎧=-+=++2211cos )sin sin cos (sin )sin sin cos (sin cos c c i c i c λθϕθϕθλϕθϕθθ (5)或 ⎩⎨⎧=+-⋅=⋅+--0)(cos sin 0sin )(cos 2121c c e c e c i i λθθθλθϕϕ (6) (6)具有非平凡解(平凡解01=c ,02=c )条件就是久期方程式为零,即0cos sin sin cos =----λθθθλθϕϕi i e e 它的解12=λ (7) 1=λ 时,代入(6)得:122c e tgc i ⋅=ϕθ(8)（1） 的归一化条件就是: 12221=+c c将(8)代入(9),得: 2cos )(1θϕδ-=i ec 2sin 2θδi e c =归一化本征函数就是: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--βθαθχϕδ2sin 2cos 1i i e e(10) 1-=λ时,21,c c 的关系就是:122c e ctgc i ⋅-=-ϕθ归一化本征函数就是:⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=-βθαθχϕδ2cos 2sin 2i i e e (11)δ就是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解:运用矩阵算符:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110ˆx σ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00ˆii y σ ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001ˆz σ (12)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⋅-θθθθσϕϕcos sin sin cos i i ee n ρρ (13)本征方程式就是:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2222cos sin sin cos c c c c ee i i λθθθθϕϕ (14) n ρρ⋅σ的本征矢就是:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-δϕδθθi i e e 2sin 2cos 1)( , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-δϕδθθi i e e 2cos 2sin 2)( (15) 补白:本征矢包含一个不定的 相位因式δi e ,由于δ可以取任意值,因此21,χχ的形式就是多式多样的,但(15)这种表示法就是有普遍意义的。
5、若ˆˆˆ,,x y z σσσ为泡利矩阵,证明:i z y x =σσσˆˆˆ,并求: (1)在z σ表象中z y x σσσ,,的归一化本征函数; (2)在x σ表象中,y z σσ的归一化本征函数;证:由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及 反对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ, 得 z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ,得 2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ (1)在z σ表象中,z σ的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1001z σ因此z σ的本征值就是±1,而本征矢为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01,10都已归一化。
在z σ表象中⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110x σ;设其本征值为λ,本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121210110,a a a a a a λ则 容易求得1±=λ相应的归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11211121和 同理,在z σ表象中,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00i i y σ,设其本征值为μ,本征矢为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b ,则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212100b b b b i i μ 可求得:1±=μ相应归一化本征函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 121121和(2)求在x σ表象中。