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| 1 , 1 现在的问题是
22
j1
s1
1, 2
j2
s2
1 2
22
，故耦合后的
总角动量
j
j1
j1
j2
j2
s1
s1
s2 s2
1 2
1 2
1 2
1 2
1,
m 0,
1,0,1 m0
• 可见，对应 j 1 的耦合态矢有三个：
| 1 , 1 ,1,1 22
| 1 , 1 ,1,0 22
n1 n2 nl N
C C C n1 n2 N N n1
nl N n1 nl 1
N! n1!(N
n1 )!
n2
(N n1 )! !(N n1 n2
)!
nl
(N n1 nl1 )! !(N n1 nl1 nl
)!
所以n1N!n个2N!!玻n色l ! 子体Nl n!系l ! 的对称波函数为
A (q1, q2 )
1 2
[
i
(q1
)
j
(q2
)
i
(q
2
)
j
(q1
)]
1 i (q1 ) i (q2 ) 2 j (q1 ) j (q2 )
（15）
由上式可以看出，当 i j时，则 A 0 ，所以两个费米子 处于同一单粒子态是不存在的，满足泡利不相容原理：不能
有两个或两个以上的费米子处于同一状态
www.sys m www.hzdi
• 1.2 全同性原理：
由于全同粒子具有不可区分性，则在全同粒子体系
中，任意两个可观测的物理效应，该论断称
为量子力学中的全同性原理。这是量子力学基本原理之一。
• 1.3 哈密顿算符的交换对称性
考虑N个全同粒子组成的体系， 表示第i个粒子的空
次对换 (1) P 为正，奇次对换 (1) P 为负。在N! 项中，奇偶
次对换各占一半。
• 3 氦原子 多粒子体系的薛定谔方程只能近似求解，这里我们讨论
氦原子（两个电子）。通过此例，即反映角动量耦合的规 律，又表现全同粒子的特性，同时介绍微扰法在多体问题的 应用。
氦的原子核带电 2e ， 不考虑核的运动，即视为两个全 同粒子的体系。以 r1, s1 和r2 , s2 分别表示两个电子的坐标和
波函数的交换对称性不隨时间而变化。
P ij
,
H
0
P ij
• 1.5 全同粒子的分类 实验表明，全同粒子体系波函数的交换对称性，与粒
子的自旋有确定的联系。
• （1）凡是自旋为 整数倍的粒子 (s 0,1,2,)所组成的
全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是对称的。例
如， 介子(s 0)，α粒子（S＝0），基态的He(S=0)，光
1111 2222
2 1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S 2z )
1111 222 2
3 1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
1111 2 222
4 1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S2z )
1111 2 22 2
• 它们是正交归一完备系，是无耦合表象基矢：S1ms1S2ms2
(q1
)
2
(q
2
)3
(q3
)
1
(q2
)
2
(q3
)
3
(q1
)
1
(q3
)
2
(q1
)3
(q2
)
1 (q1 )2 (q3 )3 (q2 ) 1 (q2 )2 (q1 )3 (q3 ) 1 (q3 )2 (q2 ) 3 (q1 )]
（2）三粒子中有两个处于相同态，而另一个处于不同态，
如 n1 2, n2 1, n3 0则3!/ 2!1! 3（共3项），有
S
1 3
[1
(q1
)1
(q2
)
2
(q3
)
1
(q1
)1
(q3
)
2
(q2
)
1
(q3
)1
(q2
)
2
(q1
)]
也可以是 n1 2, n2 0, n3 1或 n1 0, n2 2, n3 1等
这样的对称波函数共有六个
（3）三粒子都处于相同的单粒子态，如 n1 3, n2 0, n3 0 则
| 1 , 1 ,1,1 22
（23）
对应 j 0 的耦合态矢有一个：
| 1 , 1 ,0,0 22
（24）
（2）从全同粒子波函数的要求出发。
由于单粒子态只有 1/ 2 , 1/ 2 ，忽略二个电子自旋之间
相互作用，两个电子的自旋波函数可以取共同本征函数四
个：
1 1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
它也是满足（10）式的解， 具有同样的本征能量 E i j
（交换简并）
• 注意： (q1,q2 ) 是否具有交换对称性？
称波i函 数j 构成如(q下1,q2 ) i j
当
时
i j
i j
S (q1, q2 ) i (q1)i (q2 )
（13） （14）
（2）对于费米子，波函数要求对于交换两个粒子是反对 称的，归一化的反对称波函数构成如下
• 2.2 N个全同粒子体系的波函数
含时间设Hˆ，粒0 以子间 i 相和互作i 表用示可以忽的略第，i个单本粒征子值哈和密本顿征量函Hˆ数0 不，显则
N个全同粒子体系量为
Hˆ
Hˆ 0 (q1)
Hˆ 0 (q2 )
H
0 (qN
)
N
H 0 (qi )
i1
对应本征值 E i j N 的本征态
子（S＝1）。它们在统计物理中遵从玻色(Bose) —爱因斯
坦(Einstein)统计规律，称为玻色子。
• （2）凡是自旋为 半奇数倍的粒子 (s 1/ 2,3/ 2,) ，所
组成的全同粒子体系，其波函数对于交换两个粒子总是反对 称的。例如，电子、质子、中子等，S＝1/2，它们在统计物
理中遵从费米（Fermi） —狄拉克(Dirac)统计规律，称为费
（8）
对于全同粒子，Hˆ
0
(q1
),
H
0
(q2
)
在形式上是完全相同的，不考虑
两粒子的相互作用时，两个粒子体系的哈密顿算符为
Hˆ Hˆ 0 (q1) Hˆ 0 (q2 )
（9）
相应的本征方程 Hˆ(q1,q2 ) E(q1,q2 )
（10）
式中的 (q1,q2 ) 可以分离成两个单粒子波函数的乘积
描述，则有
Pij (q1, q2 ,qi ,q j ,qN ,t) (q1, q2 ,q j ,qi ,qN ,t)（4）
根据全同性原理，Pij 之间最多只能相差一个常
数因子 ，即
上式用 再作用一次P，ij相当于 中的交换复原，即（5）
P ij
Pij2 Pij 2
（6）
由此得 2 1 ，所以交换算符的本征值为
S
l nl! N!
P
P i (q1)i (qn1 )
j (qn11 ) j (qn1n2 ) k (qN )
(19)
例一 求三个全同玻色子组成的体系所有可能的状态。
解：设三个单粒子态分别为 1,2 ,3
（1）若三个粒子各处于不同状态 N! 3! 6 （共6项），则
S
1 6
[1
全同粒子
• 本讲介绍多粒子体系的量子力学基本 原理。首描述全同粒子体系的波函数；最 后以氦原子为例讨论多粒子体系问题。
• 1. 全同粒子的基本介绍 • 1.1 全同粒子：
静质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒 子。例如，电子、质子，中子等。
在经典力学中，粒量子力学中，微观全同粒子 的状态是用波函数来描述，每个粒子的波函数弥散于整个空 间，即处于同一数目），而这个概率（或数目） 究竟属于体系中的哪几个，是无法确定的。即全同粒子具有 不可区分性，这是微观粒子的基本性质之一。
S 1(q1)1(q2 )1(q3 )
也可以是 n1 0, n2 3, n3 0 或 n1 0, n2 0, n3 3 这样的对称波函数共有三个
• （2）对于N个费米子，若它们分别处于 i, j,k 态，则
反对称的波函数为
i (q1 ) i (q2 ) i (qN )
A
1 j (q1 )
任意二个电子体系波函数都可以用它们展开。1 , 4是对称自 旋波函数，但 2 , 电3 子自旋函数分别为
(1) S
1/ 2 (S1z )1/ 2 (S2z )
(2) S
1/ 2 (S1z ) 1/ 2 (S 2z )
(3) S
1 2
[1/
2
(S1z
)
1 /
2
(S2z
)
1/
2
(S2z
)
1 /
（1）对于N个玻色子，假定每个粒子都处于不同的单粒 子态，则组合中的每一项都是N个单粒子态的一种排列，用
P 来表示这些所有可能的排列之和，总项数应该为 N!， P
所以玻色子系统的对称波函数是
S (q1, q2 ,qN )
1 N!
P
Pi (1) j (2)k (N )
（19）
结果单，粒n故2子所态有的可交能换排不列会的产总n生l项新数的等于下列组合数n1
自旋，系统的哈密顿量为
H
2
2
12
2
2
2 2
2es2 r1
2es2 r2
es2 r12
（21）