4-1 试求题4-1图所示各梁支座的约束力。

设力的单位为kN ，力偶矩的单位为kN ⋅m ，长度单位为m ，分布载荷集度为kN/m 。

(提示：计算非均布载荷的投影和与力矩和时需应用积分)。

解：(b)：(1) 整体受力分析，画出受力图(平面任意力系)；(2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 0.400.4 kN xAx Ax FF F =-+==∑()0: 20.80.5 1.60.40.7200.26 kNAB B MF F F =-⨯+⨯+⨯+⨯==∑0: 20.501.24 kNyAy B Ay FF F F =-++==∑约束力的方向如图所示。

(c)：(1) 研究AB 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；(2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 2()0: 33200.33 kNB Ay Ay M F F dx x F =-⨯-+⨯⨯==∑⎰A B C D 0.8 0.8 0.4 0.50.40.7 2 (b)A BC 12 q =2(c)M=3 30oA B C D 0.8 0.8 0.8 200.8M =8q =20 (e)A B C 1 2 q =2 M=3 30o F BF Ax F A yy xdx 2⨯dxx A B C D 0.8 0.80.4 0.5 0.4 0.7 2 F B F AxF A yyx20: 2cos3004.24 kNo y Ay B B F F dx F F =-⨯+==∑⎰0: sin3002.12 kNo xAx B Ax FF F F =-==∑约束力的方向如图所示。

(e)：(1) 研究CABD 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；(2) 选坐标系Axy ，列出平衡方程；0: 0xAx FF ==∑0.8()0: 208 1.620 2.4021 kNAB B MF dx x F F =⨯⨯++⨯-⨯==∑⎰0.80: 2020015 kNy Ay B Ay F dx F F F =-⨯++-==∑⎰约束力的方向如图所示。

4-16 由AC 和CD 构成的复合梁通过铰链C 连接，它的支承和受力如题4-16图所示。

已知均布载荷集度q=10 kN/m ，力偶M=40 kN ⋅m ，a=2 m ，不计梁重，试求支座A 、B 、D 的约束力和铰链C 所受的力。

解：(1) 研究CD 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；(2) 选坐标系Cxy ，列出平衡方程； 0()0: -205 kNaCD D MF q dx x M F a F =⨯⨯+-⨯==∑⎰0: 025 kNay C D C F F q dx F F =-⨯-==∑⎰(3) 研究ABC 杆，受力分析，画出受力图(平面平行力系)；A B C D 0.8 0.8 0.8 20 0.8M =8q =20 F BF Ax F A y yx20⨯dx x dxA B C Da M qa a aCDM qa a F C F Dx dx qdxy x y xABC aqaF ’CF AF B x dx qdx(4) 选坐标系Bxy ，列出平衡方程；'0()0: 035 kNaBA C A MF F a q dx x F a F =⨯-⨯⨯-⨯==∑⎰'00: 080 kNay A B C B F F q dx F F F =--⨯+-==∑⎰约束力的方向如图所示。

4-17 刚架ABC 和刚架CD 通过铰链C 连接，并与地面通过铰链A 、B 、D 连接，如题4-17图所示，载荷如图，试求刚架的支座约束力(尺寸单位为m ，力的单位为 kN ，载荷集度单位为 kN/m)。

解：(a)：(1) 研究CD 杆，它是二力杆，又根据D 点的约束性质，可知：FC=FD=0； (2) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；(3) 选坐标系Axy ，列出平衡方程； 0: 1000100 kN xAx Ax FF F =-+==∑51()0: 100660120 kNAB B MF q dx x F F =-⨯-⨯⨯+⨯==∑⎰510: 080 kNy Ay B Ay F F q dx F F =--⨯+==∑⎰约束力的方向如图所示。

(b)：(1) 研究CD 杆，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；A B C D3 F =100q =10 (a)33 4 1 1A B C D 3 F =50 q =10 (b) 3 3 6 A B C D3 F =100 q =103 3411F A y F AxF By x x dx qdxC F =50q =10 3F C y F Cxdxqdxx(2) 选C 点为矩心，列出平衡方程；3()0: 3015 kNC D D M F q dx x F F =-⨯⨯+⨯==∑⎰ (3) 研究整体，受力分析，画出受力图(平面任意力系)；(4) 选坐标系Bxy ，列出平衡方程；0: 50050 kN xAx Ax FF F =-==∑3()0: 63503025 kNB Ay D Ay M F F q dx x F F =-⨯-⨯⨯+⨯+⨯==∑⎰30: 010 kNyAy B D B FF q dx F F F =-⨯-+==∑⎰约束力的方向如图所示。

8-5 图示阶梯形圆截面杆，承受轴向载荷F1=50 kN 与F2作用，AB 与BC 段的直径分别为d1=20 mm 和d2=30 mm ，如欲使AB 与BC 段横截面上的正应力相同，试求载荷F2之值。

解：(1) 用截面法求出1-1、2-2截面的轴力；11212 N N F F F F F ==+(2) 求1-1、2-2截面的正应力，利用正应力相同；311215010159.210.024N F MPaA σπ⨯===⨯⨯ 32221225010159.210.034N F F MPaA σσπ⨯+====⨯⨯A B C D 3F =50 q =10 3 3 6F A y F Ax F BF D dx qdx x xyB A F 1 F 2C 2 1 2 1262.5F kN ∴=8-15 图示桁架，杆1为圆截面钢杆，杆2为方截面木杆，在节点A 处承受铅直方向的载荷F 作用，试确定钢杆的直径d 与木杆截面的边宽b 。

已知载荷F=50 kN ，钢的许用应力[σS] =160MPa ，木的许用应力[σW] =10 MPa 。

解：(1) 对节点A 受力分析，求出AB 和AC 两杆所受的力；270.7 50AC AB F F kN F F kN ====(2) 运用强度条件，分别对两杆进行强度计算；[][]3213225010160 20.01470.71010 84.1AB ABS AC ACW F MPa d mmA d F MPa b mm A b σσπσσ⨯==≤=≥⨯==≤=≥所以可以确定钢杆的直径为20 mm ，木杆的边宽为84 mm 。

11-6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5 kN ，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。

FA B Cl 4501 2A yx450F ACF ABFF AB F ACF401m F 1C y 1m F 2 80 Kz30解：(1) 画梁的弯矩图(2) 最大弯矩（位于固定端）：max 7.5 M kN =(3) 计算应力： 最大应力：K 点的应力：11-8 图示简支梁，由No28工字钢制成，在集度为q 的均布载荷作用下，测得横截面C 底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E=200 Gpa ，a=1 m 。

解：(1) 求支反力31 44A B R qa R qa ==(2) 画内力图FABC300 450126max max max227.510176 408066ZM M MPa bh W σ⨯====⨯6max max 337.51030132 ********K ZM y M y MPabh I σ⋅⋅⨯⨯====⨯(+) 7.5kN xM5kNA B aa qCε R A R B x(+)x(-)3qa/4F Sqa/4qa 2/49qa 2/32M(3) 由胡克定律求得截面C 下边缘点的拉应力为：49max 3.010******* C E MPa σε+-=⋅=⨯⨯⨯=也可以表达为：2max4C C z z qa MW W σ+==(4) 梁内的最大弯曲正应力：2max max max 993267.5 8C zz qa M MPa W W σσ+====11-14 图示槽形截面悬臂梁，F=10 kN ，Me=70 kNm ，许用拉应力[σ+]=35 MPa ，许用压应力[σ-]=120 MPa ，试校核梁的强度。

解：(1) 截面形心位置及惯性矩：112212(150250)125(100200)15096 (150250)(100200)C A y A y y mmA A ⋅+⋅⨯⋅+-⨯⋅===+⨯+-⨯3322841505025200(15050)(25)2(25200)(150)12121.0210 zCC C I y y mm ⎡⎤⨯⨯=+⨯⋅-++⨯⋅-⎢⎥⎣⎦=⨯(2) 画出梁的弯矩图(3) 计算应力y100 3m F 3m M e25 25 50 200z CCA Mx40kNm30kNm(+)(-)10kNmA+截面下边缘点处的拉应力及上边缘点处的压应力分别为：68(250)4010(25096)60.4 1.0210C A A zCM y MPa I σ+++⋅-⨯-===⨯6840109637.61.0210CA A zCM y MPa I σ-++⋅⨯⨯===⨯A-截面下边缘点处的压应力为68(250)3010(25096)45.3 1.0210C A A zCM y MPa I σ---⋅-⨯-===⨯可见梁内最大拉应力超过许用拉应力，梁不安全。